Compacts simples de périmètre p
Question d'un pote:
Soit U l'ensemble des compacts simples et connexes par arcs de R² ayant une frontière de classe C1 par morceaux et de longueur p. On définit sur U la fonction f qui à C associe l'aire de C.
1) f admet-elle un maximum?
2) Si oui, décrire le compact où elle l'atteint.
Soit U l'ensemble des compacts simples et connexes par arcs de R² ayant une frontière de classe C1 par morceaux et de longueur p. On définit sur U la fonction f qui à C associe l'aire de C.
1) f admet-elle un maximum?
2) Si oui, décrire le compact où elle l'atteint.
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Réponses
compact cherché est le disque.
MC
on paramètre les valeurs d'arrivées en polaires...
Soit K le plus petit compact convexe contenant C, alors le périmètre de K est inférieur à celui de C et l'aire de K est supérieure à celle de C. soit k le périmètre de K, alors k est non nul (évident, sinon K serait un point, donc C aussi et le périmètre de C ne serait pas p. Alors l'image de K par l'homotétie de rapport p/k est un compact de périmètre p et d'aire supérieure à celle de K et donc, à forteriori à celle de C.
Conclusion: le maximum est atteint sur un compact convexe...
Pour la suite, on va s'inspirer des travaux de Kepler.
On suppose, pour simplifier, que l'origine appartient au conpact.
On voit que l'aire A de K'= (p/l)K vaut:
intégrale de 0 à 1 de 0.5 det (f(x), f'(x))dx
car 0.5det(f(x),f'(x))dx=0.5det(f(x),f'(x)dx).
Elle est également égale
(changement de variable s= G(x)=par def intégrale de 0 à x de norme de f'(x)dx)
à 0.5det(f(G-1(s)),f'(G-1(s))/norme(f'(G-1(s)))ds.
Donc, ici le physicien partagerait son aire en secteurs d'angle du et d'aire
0.5det(f(G-1(s)), ds (vecteur) )
on a donc, en supposant cette fois que f dépend de u entre 0 et 2 Pi: Aire = intégrale de 0 à 2 Pi de intégrale de 0 à norme(f(u)) de rdrdu.
= intégrale de 0 à 2Pi de (norme(f(u)))²du.
Tenant compte du fait que la même intégrale avec racine(norme(f²(u))+norme(f)'²(u)))norme(f)(u)du à la place du demi-carré de la norme de f vaut p, on doit aboutir au fait que le compact convexe en quastion est un disque ssi l'aire est maximale.
En fait, soit N=norme(f(u)), alors on a :
intégrale de 0 à 2Pi de 0.5N²(u)du=A
et intégrale de 0 à 2Pi de (N²(u)+N'²(u))du=p.
est inférieure ou égale à p au carré divisé par 4pi.
Je pense qu'avec le mot "inégalité périmètrique " tu trouveras des tas de références...
MC
Ok, bon, h est continue et C1 par morceaux car f l'est et h est strictement positive avec mon hypothèse, donc soit H: x associe u=((cox(x), sin(x)), alors forcément h o H est définie sur R et à valeurs dans R+*,2Pi périodique et est également continue et de classe C1 par morceaux, donc sa série de Fourier converge normalement sur R et la somme de cette dernière est h o H. Et ensuite?
$$P = \int_0^{2 \pi} h(\theta) \, d \theta$$
$$A = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} h(\theta) \left( h(\theta)+h''(\theta) \right) \, d \theta $$
[Si on coche LaTeX, on ne peut utiliser les boutons de mise en forme de la fenêtre d'édition AD]
Et maintenant, second problème.
"Réciproquement", soit V l'ensemble des compact simples connexe par arcs de frontière de classe C1 par morceaux et d'aire A (fixée). Soit g qui à C de V associe la longueur de sa frontière, g atteint-t-elle un maximum et si oui décrire le compact où elle l'atteint(:D.
Bon, sinon, même question que précédemment en permuttant p et A dans l'énoncé.
Sinon, c'est vrai que la réciproque est évidente. Lol, c'est marrant cette différence de difficulté.
Mes dessins sont faits sur paint et j'ose espérer que tu/vous sais/savez l'utiliser.