Compacts simples de périmètre p
Question d'un pote:
Soit U l'ensemble des compacts simples et connexes par arcs de R² ayant une frontière de classe C1 par morceaux et de longueur p. On définit sur U la fonction f qui à C associe l'aire de C.
1) f admet-elle un maximum?
2) Si oui, décrire le compact où elle l'atteint.
Soit U l'ensemble des compacts simples et connexes par arcs de R² ayant une frontière de classe C1 par morceaux et de longueur p. On définit sur U la fonction f qui à C associe l'aire de C.
1) f admet-elle un maximum?
2) Si oui, décrire le compact où elle l'atteint.
Réponses
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Bon, question 1, il est trivial que l'aire est majorée par celle d'un cercle de diamètre p. Je sais que le maximum existe mais sans m'attarder dans les détails techniques, je vais faire la démo du 2).
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Il me semble que c'est ce qui s'appelle l'inégalité périmétrique et que le
compact cherché est le disque.
MC -
C'est quoi cette histoire d'inégalité périmetrique???
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Soit C un élément de U f une des applications (continues et C1 par morceaux) qui décrivent la frontière de C, c'est à dire bijective (on peut tjs la choisir comme telle car il s'agit d'un compact simple) de [0;1[ dans la frontière de C. On choisit également f telle que f' ne s'annule jamais.
on paramètre les valeurs d'arrivées en polaires...
Soit K le plus petit compact convexe contenant C, alors le périmètre de K est inférieur à celui de C et l'aire de K est supérieure à celle de C. soit k le périmètre de K, alors k est non nul (évident, sinon K serait un point, donc C aussi et le périmètre de C ne serait pas p. Alors l'image de K par l'homotétie de rapport p/k est un compact de périmètre p et d'aire supérieure à celle de K et donc, à forteriori à celle de C.
Conclusion: le maximum est atteint sur un compact convexe...
Pour la suite, on va s'inspirer des travaux de Kepler.
On suppose, pour simplifier, que l'origine appartient au conpact.
On voit que l'aire A de K'= (p/l)K vaut:
intégrale de 0 à 1 de 0.5 det (f(x), f'(x))dx
car 0.5det(f(x),f'(x))dx=0.5det(f(x),f'(x)dx).
Elle est également égale
(changement de variable s= G(x)=par def intégrale de 0 à x de norme de f'(x)dx)
à 0.5det(f(G-1(s)),f'(G-1(s))/norme(f'(G-1(s)))ds.
Donc, ici le physicien partagerait son aire en secteurs d'angle du et d'aire
0.5det(f(G-1(s)), ds (vecteur) )
on a donc, en supposant cette fois que f dépend de u entre 0 et 2 Pi: Aire = intégrale de 0 à 2 Pi de intégrale de 0 à norme(f(u)) de rdrdu.
= intégrale de 0 à 2Pi de (norme(f(u)))²du.
Tenant compte du fait que la même intégrale avec racine(norme(f²(u))+norme(f)'²(u)))norme(f)(u)du à la place du demi-carré de la norme de f vaut p, on doit aboutir au fait que le compact convexe en quastion est un disque ssi l'aire est maximale.
En fait, soit N=norme(f(u)), alors on a :
intégrale de 0 à 2Pi de 0.5N²(u)du=A
et intégrale de 0 à 2Pi de (N²(u)+N'²(u))du=p. -
Oups, désolée, j'ai écrit inégalité périmètrique au lieu d'isoperimétrique...Elle te dit que pour un compact comme le tien, l'aire
est inférieure ou égale à p au carré divisé par 4pi.
Je pense qu'avec le mot "inégalité périmètrique " tu trouveras des tas de références...
MC -
ok merci MC
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Oui ben dire: "inégalité machin" c'est un peu facile, il suffit de lire l'énoncé, j'aurais pu le dire aussi...:)o. Mais bon, sinon, pour la fin je n'y arrive pas. Je vois théoriquement une solution avec les sommes de Riemann et des dérivées partielles mais c'est calculatoirement horrible !!!
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L'inégalité isopérimétrique pour les compacts convexes du plan peut se démontrer assez simplement avec des séries de Fourier. Il faut introduire la fonction d'appui $h$ du compact, qui va de $\mathbb{S}^1$ dans $\R$ et qui, si je me souviens bien, à un vecteur $u$ associe $h(u)=\inf \{ \, t \in \R \, | \, K \subset H_{u,t} \, \}$ où $H_{u,t}$ est le demi-espace $\{ \, x \in \R^2 \, | \, \langle x,u \rangle \leq t \, \}$.
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Ok, bon, h est continue et C1 par morceaux car f l'est et h est strictement positive avec mon hypothèse, donc soit H: x associe u=((cox(x), sin(x)), alors forcément h o H est définie sur R et à valeurs dans R+*,2Pi périodique et est également continue et de classe C1 par morceaux, donc sa série de Fourier converge normalement sur R et la somme de cette dernière est h o H. Et ensuite? -
Oui c'est ça, ton dessin est juste. Et bien ensuite, on exprime $A$ et $P$ (aire et périmètre) de manière très simple en fonction de $h$, sous formes d'intégrales. Disons plutôt que $h(\theta)$ est définie directement sur $\R$ et $2 \pi$-périodique, ça évite de traîner des $h \circ H$ partout, et supposons que $h$ est $C^2$ par morceaux. On a :
$$P = \int_0^{2 \pi} h(\theta) \, d \theta$$
$$A = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} h(\theta) \left( h(\theta)+h''(\theta) \right) \, d \theta $$ -
Tiens en bas de cette page on trouve un calcul différent, qui n'utilise pas h mais directement ce que tu notes f : \lien{http://www.sosmath.com/fourier/fourier5/fourier5.html} Operations on Fourier Series
[Si on coche LaTeX, on ne peut utiliser les boutons de mise en forme de la fenêtre d'édition
AD] -
Tu veux dire un topic qui parle déjà de cela en bas de la rubrique géométrie? Je vais voir.
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Non, je veux dire en bas de la page dont j'ai recopié le lien dans mon message : http://www.sosmath.com/fourier/fourier5/fourier5.html
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Oki, j'irai voir, merci.
Et maintenant, second problème.
"Réciproquement", soit V l'ensemble des compact simples connexe par arcs de frontière de classe C1 par morceaux et d'aire A (fixée). Soit g qui à C de V associe la longueur de sa frontière, g atteint-t-elle un maximum et si oui décrire le compact où elle l'atteint(:D. -
La réponse est immédiatement non, considérer un rectangle de côtés $M$ et $A/M$, et faire tendre $M$ vers $+\infty$.
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Oki, merci, j'irai voir. ...Beurk c'est de l'anglais!
Bon, sinon, même question que précédemment en permuttant p et A dans l'énoncé. -
J'ai répondu à la question où P et A sont permutés (un seul t) !
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Et c'est ainsi qu'on entoure Syracuse avec une peau de vache...
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J'avais le souvenir que, pour démontrer l'inégalité isopérimétrique, on considérait un paramétrage du bord du compact, de longueur $L$, par une abscisse curviligne, donc $L$-périodique. Puis on minimisait l'aire $A = -\int_{\partial K} y\,dx$ en développant $x(s)$ et $y(s)$ en série de Fourier.
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Oui c'est grosso modo la preuve présentée dans le lien en anglais (désolé). J'aime bien celle avec la fonction de support, c'est plus symétrique, plus intrinsèque, qu'un paramétrage du bord.
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en fait l'inégalité isopérimétrique est équivalents aux injections de Sobolev. Je crois que c'est expliqué ici: http://www.mai.liu.se/~vlmaz/pdf/mazya.pdf
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Pour démontrer l'inégalité isopérimétrique par les séries de Fourier, la méthode que je connais demande d'abord de démontrer l'inégalité de Wirtinger.( l'ensemble constitue un joli développement agreg ).
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Oki, mais honnêtement je ne comprends pas ce calcul horrible écrit en plus en Anglais.
Sinon, c'est vrai que la réciproque est évidente. Lol, c'est marrant cette différence de difficulté. -
Sinon, Egoroff je ne comprends pas très bien ta formule du périmètre en tant qu'intégrale de h : elle est loin d'être évidente !!!
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je suis sidéré par la richesse des options de dessin permises par ce forum!! J'espère que vous m'apprendrez...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Non, c'est juste qu'on peut y mettre un dessin fait sur son ordi quand on clique sur joindre un fichier.
Mes dessins sont faits sur paint et j'ose espérer que tu/vous sais/savez l'utiliser.
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Bonjour!
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