Soit C un élément de U f une des applications (continues et C1 par morceaux) qui décrivent la frontière de C, c'est à dire bijective (on peut tjs la choisir comme telle car il s'agit d'un compact simple) de [0;1[ dans la frontière de C. On choisit également f telle que f' ne s'annule jamais.
on paramètre les valeurs d'arrivées en polaires...
[attachment 5636 fetC.bmp]
Soit K le plus petit compact convexe contenant C, alors le périmètre de K est inférieur à celui de C et l'aire de K est supérieure à celle de C. soit k le périmètre de K, alors k est non nul (évident, sinon K serait un point, donc C aussi et le périmètre de C ne serait pas p. Alors l'image de K par l'homotétie de rapport p/k est un compact de périmètre p et d'aire supérieure à celle de K et donc, à forteriori à celle de C.
Conclusion: le maximum est atteint sur un compact convexe...
[attachment 5637 fetCetK.bmp]
Pour la suite, on va s'inspirer des travaux de Kepler.
On suppose, pour simplifier, que l'origine appartient au conpact.
On voit que l'aire A de K'= (p/l)K vaut:
intégrale de 0 à 1 de 0.5 det (f(x), f'(x))dx
car 0.5det(f(x),f'(x))dx=0.5det(f(x),f'(x)dx).
Elle est également égale
(changement de variable s= G(x)=par def intégrale de 0 à x de norme de f'(x)dx)
à 0.5det(f(G
-1(s)),f'(G
-1(s))/norme(f'(G
-1(s)))ds.
[attachment 5642 fetCetKaire.bmp]
Donc, ici le physicien partagerait son aire en secteurs d'angle du et d'aire
0.5det(f(G
-1(s)),
ds (vecteur) )
on a donc, en supposant cette fois que f dépend de u entre 0 et 2 Pi: Aire = intégrale de 0 à 2 Pi de intégrale de 0 à norme(f(u)) de rdrdu.
= intégrale de 0 à 2Pi de (norme(f(u)))²du.
Tenant compte du fait que la même intégrale avec racine(norme(f²(u))+norme(f)'²(u)))norme(f)(u)du à la place du demi-carré de la norme de f vaut p, on doit aboutir au fait que le compact convexe en quastion est un disque ssi l'aire est maximale.
En fait, soit N=norme(f(u)), alors on a :
intégrale de 0 à 2Pi de 0.5N²(u)du=A
et intégrale de 0 à 2Pi de (N²(u)+N'²(u))du=p.
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