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Quadrilatère de Varignon

Envoyé par ricco45 
Quadrilatère de Varignon
il y a sept années
Bonjour, je prépare actuellement l'oral pour les capes interne.
J'ai choisi d'illustrer le théorème de la droite des milieux par un exercice sur le quadrilatère de Varignon. (entre-autre).

Voici l'énoncé : ABCD est un quadrilatère quelconque. I est le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de de [DC], L le milieu de [AD].
Montrer que IJKL est un parallélogramme.

Voici mon problème : Je montre en utilisant deux fois le théorème de la droite des milieux que(IJ)//(LK) et que : IJ=LK.
Ainsi, si IJKL est non croisé, j'en déduis que IJKL est un parallélogramme.
Je n'arrive pas à démontrer que IJKL est non croisé...(dans le cas où ABCD est croisé ou non d'ailleurs)

Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B.

Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer SVP?

Merci par avance,

Eric.
[attachment 6455 Varignon.jpg]


Re: Quadrilatère de Varignon
il y a sept années
avatar
Tu peux montrer de même que (IL) // (KJ)..



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par jacquot.
Re: Quadrilatère de Varignon
il y a sept années
Oui effectivement ça répond au problème demandé dans l'exercice mais hélas ça ne résout pas mon problème de convexité...
Re: Quadrilatère de Varignon
il y a sept années
avatar
Cher ricco,

je te cite:
>Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B. <


Excuse-moi, mais ta définition me semble tordue:

Ne vaut-il pas mieux définir ce q'est un quadrilatère croisé, plutôt qu'un quadrilatère non croisé:


Sur ta 2° figure, le point A appartient au demi plan [(BD), C), mais ABCD n'est pas croisé, pour autant!



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Quadrilatère de Varignon
il y a sept années
Merci, effectivement j'ai confondu quadrilatère non-croisé avec quadrilatère concave ! Je mélange tout...
Voici ma définition : Un quadrilatère est croisé lorsque deux de ses côtés sont sécants.

Supposons que IJKL soit croisé alors :
Soit [IJ] et [KL] sont sécants, ce qui contredit le fait que (IJ)//(KL) (en appliquant deux fois le théorème de la droite des milieux).
Soit [IL] et [KJ] sont sécants, ce qui contredit également le fait que (IL)//(KJ).

Ai-je dit des sottises ?

Encore merci,

Ricco.
Re: Quadrilatère de Varignon
il y a sept années
avatar
pour moi, c'est bon, ricco.

Un quadrilatère est croisé lorsque deux côtés opposés sont sécants.

Maintenant, si tu parles des 2 paires de côtés, cela revient à choisir la démo que je te suggérais.
Pratiquement, en classe de 4° On peut dire que les extrémités de 2 segments de droites parallèles et de même longueur sont les sommets d'un parallélogramme . On peut aussi remarquer qu'il convient alors de citer ces sommets dans le bon ordre pour éviter que le quadrilatère soit croisé,

Pratiquement, si un élève me prouve que [IJ] et [KL] sont parallèles et de même longueur, je n'irai pas le titiller parce qu'il n'a pas prouvé que le machin est non croisé

Il faudra attendre l'égalité des vecteurs définie en Troisième pour mettre tout cela au clair.

Maintenant, un oral de Capes, je pense que ce genre de flou est à éviter.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Je ne comprends pas l'exercice sur le quadrilatère de Varignon.

[Pierre Varignon (1654-1722) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
Bonjour ,

Une fois démontré que que (IJ) // (LK) et que IJ=LK on sait que IJKL est un parallélogramme et un parallélogramme ne peut être croisé .

Cordialement
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
avatar
Sauf que IJ=KL ne garantit pas que le quadrilatère soit non croisé.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
Bonjour ,

Je ne vois pas comment un parallélogramme peut être croisé . A moins que je n'ai pas compris la définition d'un quadrilatère croisé .
Si quelqu'un pouvait m'éclairer par un schéma

Merci
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
avatar
Le problème n’est pas là, il est que tes deux conditions ne suffisent pas pour démontrer que ton quadrilatère est non croisé.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
:D , je ne savais pas que "être non croisé et ... " était une sous-chaine de caractères de la définition de parallélogramme :)-D

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi. Par ailleurs, l'important n'est pas de réussir, mais de formaliser l'échec pour que l'appel à l'aide puisse recevoir des réponses utiles.
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
avatar
On peut procéder de façon purement abstraite.
Dans un espace affine quelconque, un quadruplet de points $(M,N,P,Q)$ est un parallélograme ssi : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$.
Soient maintenant $ A,B,C,D$ des points dans un espace affine $E$, soit $I$ le milieu de $[AB]$, soit $J$ le milieu de $[BC]$, soit $K$ le milieu de $[DC]$, soit $L$ le milieu de $[AD]$.
Pour tout point $O$ de l'espace $E$, on a : $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{,OJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\overrightarrow{,OK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\overrightarrow{,OL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA})$.
Il est clair que : $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OL}$, d'où : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$. Terminé.
Vous observerez qu'il n'est pas même nécessaire que $A,B,C,D$ soient coplanaires.
Ensuite, les distinctions entre quadrilatères plans convexes, concaves ou croisés ne sont pas sans intérêt, et peuvent être délicates parfois, mais n'ont pas d'importance pour obtenir la conclusion souhaitée.
Bonne soirée.
RC
Re: Quadrilatère de Varignon
l’an passé
Je crois avoir compris que si on s'en tient qu'à la condition (IJ) // (LK) et IJ=LK on n'est pas sûr que IJKL ne soit pas croisé .
Mais comme on a démontré les propositions précédentes on peut démontrer que IL=JK et IL //Jk . Donc IJKL est bien un parallélogramme et donc ne saurait être croisé .

Cordialement
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