Quadrilatère de Varignon

ricco45
ricco45
dans Géométrie
Bonjour, je prépare actuellement l'oral pour les capes interne.
J'ai choisi d'illustrer le théorème de la droite des milieux par un exercice sur le quadrilatère de Varignon. (entre-autre).

Voici l'énoncé : ABCD est un quadrilatère quelconque. I est le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de de [DC], L le milieu de [AD].
Montrer que IJKL est un parallélogramme.

Voici mon problème : Je montre en utilisant deux fois le théorème de la droite des milieux que(IJ)//(LK) et que : IJ=LK.
Ainsi, si IJKL est non croisé, j'en déduis que IJKL est un parallélogramme.
Je n'arrive pas à démontrer que IJKL est non croisé...(dans le cas où ABCD est croisé ou non d'ailleurs)

Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B.

Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer SVP?

Merci par avance,

Eric.
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Réponses

  • jacquot
    jacquot
    Tu peux montrer de même que (IL) // (KJ)..
  • ricco45
    ricco45
    Oui effectivement ça répond au problème demandé dans l'exercice mais hélas ça ne résout pas mon problème de convexité...
  • jacquot
    jacquot
    Cher ricco,

    je te cite:
    >Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
    ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B. <


    Excuse-moi, mais ta définition me semble tordue:

    Ne vaut-il pas mieux définir ce q'est un quadrilatère croisé, plutôt qu'un quadrilatère non croisé:


    Sur ta 2° figure, le point A appartient au demi plan [(BD), C), mais ABCD n'est pas croisé, pour autant!
  • ricco45
    ricco45
    Merci, effectivement j'ai confondu quadrilatère non-croisé avec quadrilatère concave ! Je mélange tout...
    Voici ma définition : Un quadrilatère est croisé lorsque deux de ses côtés sont sécants.

    Supposons que IJKL soit croisé alors :
    Soit [IJ] et [KL] sont sécants, ce qui contredit le fait que (IJ)//(KL) (en appliquant deux fois le théorème de la droite des milieux).
    Soit [IL] et [KJ] sont sécants, ce qui contredit également le fait que (IL)//(KJ).

    Ai-je dit des sottises ?

    Encore merci,

    Ricco.
  • jacquot
    jacquot
    pour moi, c'est bon, ricco.

    Un quadrilatère est croisé lorsque deux côtés opposés sont sécants.

    Maintenant, si tu parles des 2 paires de côtés, cela revient à choisir la démo que je te suggérais.
    Pratiquement, en classe de 4° On peut dire que les extrémités de 2 segments de droites parallèles et de même longueur sont les sommets d'un parallélogramme . On peut aussi remarquer qu'il convient alors de citer ces sommets dans le bon ordre pour éviter que le quadrilatère soit croisé,

    Pratiquement, si un élève me prouve que [IJ] et [KL] sont parallèles et de même longueur, je n'irai pas le titiller parce qu'il n'a pas prouvé que le machin est non croisé

    Il faudra attendre l'égalité des vecteurs définie en Troisième pour mettre tout cela au clair.

    Maintenant, un oral de Capes, je pense que ce genre de flou est à éviter.
  • builingue
    builingue
    Je ne comprends pas l'exercice sur le quadrilatère de Varignon.

    [Pierre Varignon (1654-1722) prend toujours une majuscule. AD]
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour ,

    Une fois démontré que que (IJ) // (LK) et que IJ=LK on sait que IJKL est un parallélogramme et un parallélogramme ne peut être croisé .

    Cordialement
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Sauf que IJ=KL ne garantit pas que le quadrilatère soit non croisé.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour ,

    Je ne vois pas comment un parallélogramme peut être croisé . A moins que je n'ai pas compris la définition d'un quadrilatère croisé .
    Si quelqu'un pouvait m'éclairer par un schéma

    Merci
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Le problème n’est pas là, il est que tes deux conditions ne suffisent pas pour démontrer que ton quadrilatère est non croisé.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • christophe c
    christophe c
    :D , je ne savais pas que "être non croisé et ... " était une sous-chaine de caractères de la définition de parallélogramme :)-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    On peut procéder de façon purement abstraite.
    Dans un espace affine quelconque, un quadruplet de points $(M,N,P,Q)$ est un parallélograme ssi : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$.
    Soient maintenant $ A,B,C,D$ des points dans un espace affine $E$, soit $I$ le milieu de $[AB]$, soit $J$ le milieu de $[BC]$, soit $K$ le milieu de $[DC]$, soit $L$ le milieu de $[AD]$.
    Pour tout point $O$ de l'espace $E$, on a : $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{,OJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\overrightarrow{,OK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\overrightarrow{,OL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA})$.
    Il est clair que : $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OL}$, d'où : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$. Terminé.
    Vous observerez qu'il n'est pas même nécessaire que $A,B,C,D$ soient coplanaires.
    Ensuite, les distinctions entre quadrilatères plans convexes, concaves ou croisés ne sont pas sans intérêt, et peuvent être délicates parfois, mais n'ont pas d'importance pour obtenir la conclusion souhaitée.
    Bonne soirée.
    RC
  • fm_31
    fm_31
    Je crois avoir compris que si on s'en tient qu'à la condition (IJ) // (LK) et IJ=LK on n'est pas sûr que IJKL ne soit pas croisé .
    Mais comme on a démontré les propositions précédentes on peut démontrer que IL=JK et IL //Jk . Donc IJKL est bien un parallélogramme et donc ne saurait être croisé .

    Cordialement
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