Quadrilatère de Varignon
Bonjour, je prépare actuellement l'oral pour les capes interne.
J'ai choisi d'illustrer le théorème de la droite des milieux par un exercice sur le quadrilatère de Varignon. (entre-autre).
Voici l'énoncé : ABCD est un quadrilatère quelconque. I est le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de de [DC], L le milieu de [AD].
Montrer que IJKL est un parallélogramme.
Voici mon problème : Je montre en utilisant deux fois le théorème de la droite des milieux que(IJ)//(LK) et que : IJ=LK.
Ainsi, si IJKL est non croisé, j'en déduis que IJKL est un parallélogramme.
Je n'arrive pas à démontrer que IJKL est non croisé...(dans le cas où ABCD est croisé ou non d'ailleurs)
Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B.
Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer SVP?
Merci par avance,
Eric.
J'ai choisi d'illustrer le théorème de la droite des milieux par un exercice sur le quadrilatère de Varignon. (entre-autre).
Voici l'énoncé : ABCD est un quadrilatère quelconque. I est le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de de [DC], L le milieu de [AD].
Montrer que IJKL est un parallélogramme.
Voici mon problème : Je montre en utilisant deux fois le théorème de la droite des milieux que(IJ)//(LK) et que : IJ=LK.
Ainsi, si IJKL est non croisé, j'en déduis que IJKL est un parallélogramme.
Je n'arrive pas à démontrer que IJKL est non croisé...(dans le cas où ABCD est croisé ou non d'ailleurs)
Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B.
Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer SVP?
Merci par avance,
Eric.
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Réponses
je te cite:
>Voici la défintion que je prends pour un quadrilatère non croisé :
ABCD est non croisé lorsque le sommet D n'appartient pas au demi-plan délimité par (AC) et contenant le sommet B. <
Excuse-moi, mais ta définition me semble tordue:
Ne vaut-il pas mieux définir ce q'est un quadrilatère croisé, plutôt qu'un quadrilatère non croisé:
Sur ta 2° figure, le point A appartient au demi plan [(BD), C), mais ABCD n'est pas croisé, pour autant!
Voici ma définition : Un quadrilatère est croisé lorsque deux de ses côtés sont sécants.
Supposons que IJKL soit croisé alors :
Soit [IJ] et [KL] sont sécants, ce qui contredit le fait que (IJ)//(KL) (en appliquant deux fois le théorème de la droite des milieux).
Soit [IL] et [KJ] sont sécants, ce qui contredit également le fait que (IL)//(KJ).
Ai-je dit des sottises ?
Encore merci,
Ricco.
Un quadrilatère est croisé lorsque deux côtés opposés sont sécants.
Maintenant, si tu parles des 2 paires de côtés, cela revient à choisir la démo que je te suggérais.
Pratiquement, en classe de 4° On peut dire que les extrémités de 2 segments de droites parallèles et de même longueur sont les sommets d'un parallélogramme . On peut aussi remarquer qu'il convient alors de citer ces sommets dans le bon ordre pour éviter que le quadrilatère soit croisé,
Pratiquement, si un élève me prouve que [IJ] et [KL] sont parallèles et de même longueur, je n'irai pas le titiller parce qu'il n'a pas prouvé que le machin est non croisé
Il faudra attendre l'égalité des vecteurs définie en Troisième pour mettre tout cela au clair.
Maintenant, un oral de Capes, je pense que ce genre de flou est à éviter.
[Pierre Varignon (1654-1722) prend toujours une majuscule. AD]
Une fois démontré que que (IJ) // (LK) et que IJ=LK on sait que IJKL est un parallélogramme et un parallélogramme ne peut être croisé .
Cordialement
-- Schnoebelen, Philippe
Je ne vois pas comment un parallélogramme peut être croisé . A moins que je n'ai pas compris la définition d'un quadrilatère croisé .
Si quelqu'un pouvait m'éclairer par un schéma
Merci
-- Schnoebelen, Philippe
Dans un espace affine quelconque, un quadruplet de points $(M,N,P,Q)$ est un parallélograme ssi : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$.
Soient maintenant $ A,B,C,D$ des points dans un espace affine $E$, soit $I$ le milieu de $[AB]$, soit $J$ le milieu de $[BC]$, soit $K$ le milieu de $[DC]$, soit $L$ le milieu de $[AD]$.
Pour tout point $O$ de l'espace $E$, on a : $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{,OJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\overrightarrow{,OK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\overrightarrow{,OL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA})$.
Il est clair que : $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OL}$, d'où : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$. Terminé.
Vous observerez qu'il n'est pas même nécessaire que $A,B,C,D$ soient coplanaires.
Ensuite, les distinctions entre quadrilatères plans convexes, concaves ou croisés ne sont pas sans intérêt, et peuvent être délicates parfois, mais n'ont pas d'importance pour obtenir la conclusion souhaitée.
Bonne soirée.
RC
Mais comme on a démontré les propositions précédentes on peut démontrer que IL=JK et IL //Jk . Donc IJKL est bien un parallélogramme et donc ne saurait être croisé .
Cordialement