groupes et représentations

Oboulah0
Oboulah0
dans Géométrie
Bonjour,

J'ai deux questions actuelles.

1) Si $G$ est un groupe d'ordre $n$, pourquoi a-t-on nécessairement que pour tout $g \in G$, $g^n=e$ (où $e$ est le neutre) ? J'ai tenté de le démontrer, mais je ne vois rien qui interdise, pour un $g$ donné, d'avoir $g^m=e$ où $m<n$, et cela me perturbe ... Si $n$ est un nombre premier, alors cela n'est pas possible (car $m$ doit toujours diviser $n$), mais si $n$ est quelconque ?

2) Je cherche à déterminer la table des caractères du groupe cyclique $\Z/N\Z$. Comme il est abélien, je sais qu'il a $N$ représentations irréductibles, chacune de dimension 1. Mais je ne vois encore qu'une seule représentation de ce type, qui est la représentation $D_1$ suivante :

$\Z/N\Z = \{ g_0=e, g_1, g_2, \ldots, g_{N-1} \}$
$D_1(g_i) = \exp(\frac{2\pi}{n}i)$

Pourriez-vous m'aiguiller sur la suite ?

Merci.

Réponses

  • AD
    AD
    Bonjour Oboulah

    1) Si $g^m=e$, avec $m<n$, Lagrange affirme que $m$ divise $n$, c'est-à-dire $n=m.k,\ k\in \N$, alors $g^n=g^{mk}=(g^m)^k=e^k=e$

    2) Que dirais-tu de $ D_k(g_j) = \exp(kj\frac{2i\pi}{n})$ ? (j'ai indicé par $j$ parce qu'en général dans $\C,\ i^2=-1$ ).

    Alain
  • Oboulah0
    Oboulah0
    D'accord, dorénavant je retiens Lagrange dans ma tête :) Quant aux autres représentations de Z/nZ, ce sont effectivement des représentations et on en a n ... Un grand merci ! (Mais j'aurai probablement encore d'autres questions bientôt :)).
  • Oboulah0
    Oboulah0
    Me voici de retour.

    Je cherche un contre-exemple pour montrer que si on a une représentation irréductible d'un groupe, la restriction à un sous-groupe n'est pas irréductible en général.

    Si quelqu'un pouvait me souffler des indices :) Merci.
  • egoroff
    egoroff
    Je vais peut-être dire une bêtise mais tu peux trouver un contre-exemple très simple (le plus simple possble ?) avec le groupe de Klein $(\Z / 2 \Z)^2$ agissant sur $\R^2$ "coordonnée par coordonnée".
  • jobherzt
    jobherzt
    Pour un exemple peut-être plus général, intuitivement et sans vérification, tu peux partir de la représentation irréductible la plus "naturelle" de $S_n$ : tu considères dans $\R^n$ l'hyperplan $H$ défini par : $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i =0 $
    C'est un espace de dimension $n-1$, et l'action de $S_n$ sur cet hyperplan se fait simplement en permutant les coordonnées.
    Si tu as par exemple un vecteur $ v=(v_1,v_2,\dots,v_n)$ qui appartient à $H$, alors le vecteur :
    $$
    \sigma \cdot v = (v_{\sigma(1)},\ldots, v_{\sigma(n)})
    $$
    appartient évidemment aussi a $H$ (avec $\sigma \in S_n$).

    Cette représentation est irréductible, et si tu choisis maintenant un entier $k< n$, tu peux voir $S_k$ comme un sous groupe de $S_n$, et donc $S_k$ agit sur $H$, mais cette fois la représentation n'est plus irréductible, sauf erreur.
  • egoroff
    egoroff
    Je précise mon idée : on écrit $V=(\Z/2\Z)^2=\{e,r,s,rs\}$ et on définit une action de $V$ sur $\R^2$ par $r \cdot (x,y)=(-x,y)$ et $s \cdot (x,y) =(x,-y)$ ce qui je crois donne bien une représentation irréductible, mais la restriction à $\langle r \rangle$ ne l'est plus.
  • jobherzt
    jobherzt
    egoroff> c'est bien ce que j'avais compris de ton message (le coup des changements de signe), mais j'ai un doute : est ce que le sous espace $\{(x,0),\ x\in \R\}$ n'est pas stable sous l'action du groupe tel que tu la decrit ? du coup ta representation ne serait plus irreductible...

    Une idee en l'air du coup : si on ajoute un generateur dont l'action va etre de permuter les 2 coordonnées, cette fois c'est bien irreductible (non ?) et dans ce cas ton groupe de Klein donne un exemple de sous groupe pour laquelle la representation n'est plus irreductible.
  • LOJACO
    LOJACO
    il suffit de restreindre au sous-groupe trivial ?!
  • jobherzt
    jobherzt
    Ca ne serait pas tres instructif... a la limite, trouver une representation d'un groupe qui ne soit pas fidele mais qui soit irreductible : le noyau du morphisme associé est un sous groupe et son action est triviale, donc ca n'est plus irreductible... mais bon, se ramener a une action triviale ca gache un peu, je trouve, c'est moins eclairant.
  • egoroff
    egoroff
    Exact jobhert ! Merci de me remettre dans le droit chemin, j'ai dit un peu nimp. Et ta correction a l'air de marcher, mais on a plus besoin de mes générateurs. Pour faire plus simple n peut prendre $r \cdot (x,y)=(-x,y)$ et $s \cdpt (x,y)=(y,x)$, alors $\langle r,s \rnagle$ est irréductible mais $\langle r \rangle$ et $\langle s \rangle$ ne le sont pas.
  • Oboulah0
    Oboulah0
    Il me faudra méditer sur vos exemples, mais en attendant j'ai encore une question :)

    J'essaie de montrer que si $D$ est une représentation de dimension $n>1$ sur un espace $V$, alors la représentation produit $D\otimes D$ laisse invariantes les parties symétrique et antisymétrique de l'espace $V\otimes V$.

    Encore une fois, si quelqu'un a des indices pour l'apprenti :)
  • jobherzt
    jobherzt
    c'est quoi que tu appelles les parties symetriques et antisymetriques de $V\otimes V$ ??
  • Oboulah0
    Oboulah0
    Si $\{e_1, \ldots, e_n\}$ est une base de $V$, alors une base de $V\otimes V$ est donnée par l'ensemble des $e_i\otimes e_j$.

    La partie symétrique $S$ de $V$ est le sous-espace engendré par l'ensemble des $e_i \otimes e_j + e_j\otimes e_i$.

    La partie antisymétrique $A$ de $V$ est le sous-espace engendré par l'ensemble des $e_i \otimes e_j - e_j\otimes e_i$.

    (J'espère ne pas m'être trompé.)
  • Ma~
    Ma~
    La partie symétrique ne serait pas plutôt le quotient de $V\otimes V$ par l'idéal engendré par les éléments de la forme $u\otimes v - v\otimes u$ ?
    (Et la même chose avec un + pour la partie antisymétrique).
  • jobherzt
    jobherzt
    ok, alors dans ce cas suffit de derouler la definition :)

    - commence par ecrire l'action de $G$ sur $V\otimes V$. en particulier, regarde l'action de $G$ sur un $e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i$ et montre que tu peux ecrire :

    $$
    g\cdot (e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i)=\sum \alpha_{k,l} (e_k \otimes e_l + e_l \otimes e_k)

    $$

    tu n'as evidemment pas besoin d'expliciter les $\alpha_{k,l}$, il suffit de prouver qu'il en existe, mais honnetement il suffit d'appliquer sucessivement :

    - la definition de l'action sur un produit tensoriel
    - la definition d'une base

    et de regrouper les termes.....
  • egoroff
    egoroff
    Ma~ je peux me tromper (avec une probabilité proche de 1) mais ce dont tu parles c'est plutôt $S^2(V)$ et $\Lambda^2 V$ non ?

    De toute façon si on parle de stabilité par l'action c'est qu'on considère un sousespace de $V \otimes V$.
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