application affine

Inutile d'aller se perdre dans des considérations sur le caractère affine puisque les barycentres ne sont pas au programme. Je pense que l'on s'en sort bien en commençant par décomposer n'importe quelle isométrie plane, qui n'est pas une symétrie, en produit de deux ou trois symétries. Comme les propriétés des symétries sont connues, tu en déduis celles des isométries. Tu remarque que le produit d'un nombre pair de symétries conserve les angles orientés et tu isoles ainsi le sous-groupe (distingué, tu peux le montrer aisément si tu le souhaites) des déplacements. Il faut montrer à ce sujet deux choses :

1°) Un bipoint (que l'on suppose non trivial) et son image par un déplacement font entre eux un angle indépendant du bipoint ; cela définit l'angle du déplacement.

2°) Tu montres qu'un déplacement est caractérisé par son angle et l'image d'un point.

3°) L'angle du déplacement produit est la somme des déplacements composants.

Il ne reste plus qu'à placer le tableau de la classification des isométries au choix avant ou après les déplacements.

C'est comme ça que je vois cet exposé.

Bruno

Sauf erreur les barycentres ne sont plus au programme du lycée ? Mais à la réflexion, j'ai tort. Oublions cela.

Le théorème de la géométrie affine assure qu'une bijection entre deux espaces affines qui conserve l'alignement est une application affine. Mais c'est un vrai marteau pilon.

Sous réserve que les barycentres soient toujours au programme, tu peux remarquer que le point M du segment [AB] est le barycentre de (A,MB) et de (B,MA) et qu'une isométrie conserve les barycentres de deux points, donc les barycentres de n points par récurrence.

Mais j'attire ton attention sur le libellé de l'exposé ; il balance directement le théorème de décomposition. Ce n'est jamais gratuit ce genre de chose.

Bruno

De rien.

Bruno

Tu peux jeter un oeil sur cette feuille d'exercices :

http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/exogeomM1.pdf

Il s'agit de l'exercice 3.1

Bon courage