droite de Simson

Salut bs.

Je ne penses pas que ce soit la bonne méthode dans la mesure
opù il s'agit justement de montrer que l'orthocentre appartient à la droite de Steiner.

Si je ne me trompe pas la démonstration suivante se trouve dans "La géométrie du triangle" des Sortais (Hermann).

Définissons les points P' et Q' respectivement comme le symétrique de H par rapport à (BC) et le point d'intersection de la droite (Pa) avec la parallèle à la droite de Simson passant par H. Comme elles passent respectivement par H et P', il suffit de montrer que leurs directions sont symétriques par rapport à celle de (BC). Or les angles orientés de droites ((AP'),(AQ)) et ((PQ),(PP')) sont opposés, donc les directions des droites (AQ) et (PP') sont symétriques par rapport à la direction de (AH), donc également par rapport à celle de (BC) puisque ces deux dernières directions sont orthogonales ; enfin (AQ) et (HQ') ont la même direction. Par conséquent, le point a est le milieu du segment [PQ'] et il s'ensuit que le point I, milieu de P et H appartient à la droite de Simson par le théorème de la droite des milieux, par exemple.

Bruno

[Modifié après les remarques de bs. Bruno]

Merci bs.

Ceci dit, je ne prétend pas avoir inventé cette démo... Par contre, il y en a une autre que j'ai posée en examen en 1998 (je pense) qui est amusante et que je n'ai vue nulle part. Je ne résiste pas au plaisir de l'exposer ici.

On sait :

1°) que le symétrique l'orthocentre d'un triangle par rapport à l'un des côtés appartient au cercle circonscrit (fait en cours) ;

2°) que si deux cercles C et C' sont sécants en C et H et si s désigne la similitude directe de centre C qui transforme C en C' ; alors Q = s(P) si, et seulement si les points P, Q et H sont alignés (objet de la première partie de l'exercice).
Les cercles C et C' respectivement symétriques au cercle circonscrit au triangle (ABC) par rapport aux côtés (AC) et (BC) de ce triangle sont sécants en C et en H, d'après 1°). Comme la composée des symétries par rapport à (BC) et (AC) est la rotation de centre C qui transforme C en C', si P et Q sont les symétriques d'un point M du cercle circonscrit par rapport aux droites (BC) et (CA), les points H, P et Q sont alors alignés d'après 2°). Par permutation en on déduit que les trois symétriques P, Q et R du point M par rapport aux trois côtés du triangle ABC sont alignés sur une droite contenant H.

Bruno

Bonsoir,

Jolie, Bruno, ta deuxième démonstration !
Merci Roland, et termine bien l'année 2007.

Ici, des tonnes de propriétés sur Simson et Steiner, que vous devez déjà connaitre... http://www.cabri.net/abracadabri/GeoPlane/Cocyclik/SimpSte5.htm

Amicalement.

Bonjour
Amusant de déterrer ce fil vieux de dix ans.
Je crois que depuis on avait étudié dans d'autres fils à retrouver le lieu des intersections des droites de Simson se coupant sous un angle constant.
Voici en tout cas la figure suggérée par Jicéherre.
Les points $m$, $n$, $p$, $q$ forment un carré.
J'ai tracé leurs droites de Simson $m'$, $n'$, $p'$, $q'$. Les droites de Simson consécutives se coupent sous des angles de $45°$.
Puis j'ai demandé à Cabri de tracer en rouge le lieu commun des intersections $m'\cap n'$, $n'\cap p'$, $p'\cap q'$, $q'\cap m'$ qui forment un quadrangle orthocentrique.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Soit $P\simeq\left[\begin{array}{c} u\\ v\\w \end{array}\right]$ un point sur le cercle circonscrit $(O).$
La droite abc de Simson associée à $P$ a pour équation :
$ (-a^4 v w - c^4 v (2 v + w) - b^4 w (v + 2 w) + 2 a^2 (v + w) (c^2 v + b^2 w) - 2 b^2 c^2 (v^2 + 3 v w + w^2))x +(-((a^2 - b^2) w +$
$c^2 (2 u + w)) (a^2 v - c^2 v - b^2 (v + 2 w)))y + (((a^2 - c^2) v + (b^2 (2 u + v)) ((-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)))z=0.$
Par ailleurs, on a :
$I\simeq\left[\begin{array}{c} 2 a^2 (b^2 + c^2) u + a^4 (v + w) - (b^2 - c^2)^2 (2 u + v + w)\\ -a^4 (u + 2 v + w) +
2 a^2 (b^2 v + c^2 (u + 2 v + w)) + (b^2 - c^2) (b^2 (u + w) +
c^2 (u + 2 v + w))\\-a^4 (u + v + 2 w) - (b^2 - c^2) (c^2 (u + v) + b^2 (u + v + 2 w)) +
2 a^2 (c^2 w + b^2 (u + v + 2 w)) \end{array}\right]$
$I$ appartient à abc droite de Simson associée à $P \iff 2 (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 -
c^2) (u + v + w) (c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w)=0.$
Or par hypothèse $P$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$ donc $c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w=0.$
Ainsi $I$ appartient à abc droite de Simson associée à $P$ lorsque $P$ est sur le cercle circonscrit à $ABC.$
Amicalement

Bonjour pappus
Il s'agit de la question 2/ de l'exercice initial. Je finis mon thé et je regarde ton message.
Amicalement

j'adore!!
non seulement le milieu de HP (orthocentre, point "père" de la droite) est sur la droite, mais il est aussi sur le cercle d'Euler!
je vois tout ça en déformant les figures, mais la démonstration est à l'infini par rapport à mes capacités
cordialement
JCR

l’homothétie de centre orthocentre des cercles est connue, donc le milieu est sur le cercle, l'intéressant c'est qu'il est sur le droite, et les quatre miliaux reproduisent le carré des pères