droite de Simson
Bonjour,
Un triangle ABC, P un point sur son cercle circonscrit C, abc la droite de Simson associée à P.
Pa recoupe C en Q.
1) Montrer que AQ est // abc. ==> OK.
2) H est l'orthocentre de ABC, montrer que I, milieu de HP est sur abc.
==> Je ne vois pas, si quelqu'un m'aide, ... pour le remercier, ... je lui donne la 3ème question.
Rolands.
[Pour ceux (dont moi) qui ne savent pas ce qu'est la droite de Simson... AD]
http://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_de_Simson
Un triangle ABC, P un point sur son cercle circonscrit C, abc la droite de Simson associée à P.
Pa recoupe C en Q.
1) Montrer que AQ est // abc. ==> OK.
2) H est l'orthocentre de ABC, montrer que I, milieu de HP est sur abc.
==> Je ne vois pas, si quelqu'un m'aide, ... pour le remercier, ... je lui donne la 3ème question.
Rolands.
[Pour ceux (dont moi) qui ne savent pas ce qu'est la droite de Simson... AD]
http://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_de_Simson
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Réponses
Il me semble que ça se fait avec la symétrie axiale, en utilisant des angles inscrits.
-- Schnoebelen, Philippe
... et mes messages se perdent 3 fois sur 4 !!
Content de te relire; grâce à tes envois, j'ai enfin maîtrisé le porisme de Steiner...encore merci.
Pour ta question b): une méthode que je connais , mais faisant intervenir la droite de Steiner (St).
-> montrer que H appartient à la droite de Steiner: (St)
-> puis , par Hom(P, 1/2), I appartient à (Si)
Je t'enverrai une preuve si tu le souhaites.
Excellente fin d'année 2007.
Je ne penses pas que ce soit la bonne méthode dans la mesure
opù il s'agit justement de montrer que l'orthocentre appartient à la droite de Steiner.
Si je ne me trompe pas la démonstration suivante se trouve dans "La géométrie du triangle" des Sortais (Hermann).
Définissons les points P' et Q' respectivement comme le symétrique de H par rapport à (BC) et le point d'intersection de la droite (Pa) avec la parallèle à la droite de Simson passant par H.
Bruno
[Modifié après les remarques de bs. Bruno]
Ok et merci Bruno pour cette méthode directe.
La méthode que j'évoquais est celle du Sortais:
-> en 2.c : on montre que la droite de Steiner contient H,
-> en 4 : on montre que la droite de Simson contient le milieu de HP.
Amicalement.
Ceci dit, je ne prétend pas avoir inventé cette démo... Par contre, il y en a une autre que j'ai posée en examen en 1998 (je pense) qui est amusante et que je n'ai vue nulle part. Je ne résiste pas au plaisir de l'exposer ici.
On sait :
1°) que le symétrique l'orthocentre d'un triangle par rapport à l'un des côtés appartient au cercle circonscrit (fait en cours) ;
2°) que si deux cercles C et C' sont sécants en C et H et si s désigne la similitude directe de centre C qui transforme C en C' ; alors Q = s(P) si, et seulement si les points P, Q et H sont alignés (objet de la première partie de l'exercice).
Les cercles C et C' respectivement symétriques au cercle circonscrit au triangle (ABC) par rapport aux côtés (AC) et (BC) de ce triangle sont sécants en C et en H, d'après 1°). Comme la composée des symétries par rapport à (BC) et (AC) est la rotation de centre C qui transforme C en C', si P et Q sont les symétriques d'un point M du cercle circonscrit par rapport aux droites (BC) et (CA), les points H, P et Q sont alors alignés d'après 2°). Par permutation en on déduit que les trois symétriques P, Q et R du point M par rapport aux trois côtés du triangle ABC sont alignés sur une droite contenant H.
Bruno
Merci Bruno ...presque incollable , mais ... en quelles classes peut-on poser ces problèmes et espérer avoir des réponses ?
La 3ème question de mon exercice était : montrer que les droites de simson de 2 poins diamétralement opposés sont perpendiculaires , j'ai su faire .
Bonne année à vous tous .
Rolands .
Jolie, Bruno, ta deuxième démonstration !
Merci Roland, et termine bien l'année 2007.
Ici, des tonnes de propriétés sur Simson et Steiner, que vous devez déjà connaitre... http://www.cabri.net/abracadabri/GeoPlane/Cocyclik/SimpSte5.htm
Amicalement.
Bruno
Moi, j'avais vu cela en math.élèm ... en 1952-53.
D'ailleurs, j'aimerais bien retrouver l'épreuve du bac d'Alger en juin 53.
Je me souviens que c'était difficile, et portait sur les faisceaux de cercles.
La fac des sciences d'Alger me dit que ses archives ont disparu !.
A bientôt, et bonne année.
Roland.
j'ai adressé un message direct à Rolands par inexpérience!
J'ai vu la mention de la perpendicularité des droites nées de points diamétralement opposés
on peut aussi considérer des points en quadrature et les intersections de ces 4 droites
je voulais voir leurs lieux
les intersections des perpendiculaires sont sur le cercle d'Euler
impressionné par ce forum!!!
JCR
Amusant de déterrer ce fil vieux de dix ans.
Je crois que depuis on avait étudié dans d'autres fils à retrouver le lieu des intersections des droites de Simson se coupant sous un angle constant.
Voici en tout cas la figure suggérée par Jicéherre.
Les points $m$, $n$, $p$, $q$ forment un carré.
J'ai tracé leurs droites de Simson $m'$, $n'$, $p'$, $q'$. Les droites de Simson consécutives se coupent sous des angles de $45°$.
Puis j'ai demandé à Cabri de tracer en rouge le lieu commun des intersections $m'\cap n'$, $n'\cap p'$, $p'\cap q'$, $q'\cap m'$ qui forment un quadrangle orthocentrique.
Amicalement
[small]p[/small]appus
figure bien plus "propre" que celle que j'ai faite!
ce qui me trouble c'est la position des intersections m'p' et n'q' sur le cercle d'Euler
je suis bien incapable de le démontrer, mais je prends grand plaisir à lire vos démonstrations!
cordialement
JCR
Soit $P\simeq\left[\begin{array}{c} u\\ v\\w \end{array}\right]$ un point sur le cercle circonscrit $(O).$
La droite abc de Simson associée à $P$ a pour équation :
$ (-a^4 v w - c^4 v (2 v + w) - b^4 w (v + 2 w) + 2 a^2 (v + w) (c^2 v + b^2 w) - 2 b^2 c^2 (v^2 + 3 v w + w^2))x +(-((a^2 - b^2) w +$
$c^2 (2 u + w)) (a^2 v - c^2 v - b^2 (v + 2 w)))y + (((a^2 - c^2) v + (b^2 (2 u + v)) ((-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)))z=0.$
Par ailleurs, on a :
$I\simeq\left[\begin{array}{c} 2 a^2 (b^2 + c^2) u + a^4 (v + w) - (b^2 - c^2)^2 (2 u + v + w)\\ -a^4 (u + 2 v + w) +
2 a^2 (b^2 v + c^2 (u + 2 v + w)) + (b^2 - c^2) (b^2 (u + w) +
c^2 (u + 2 v + w))\\-a^4 (u + v + 2 w) - (b^2 - c^2) (c^2 (u + v) + b^2 (u + v + 2 w)) +
2 a^2 (c^2 w + b^2 (u + v + 2 w)) \end{array}\right]$
$I$ appartient à abc droite de Simson associée à $P \iff 2 (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 -
c^2) (u + v + w) (c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w)=0.$
Or par hypothèse $P$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$ donc $c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w=0.$
Ainsi $I$ appartient à abc droite de Simson associée à $P$ lorsque $P$ est sur le cercle circonscrit à $ABC.$
Amicalement
Mais que démontres-tu exactement et quel est ce point $I$ aux coordonnées barycentriques pour le moins imposantes?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il s'agit de la question 2/ de l'exercice initial. Je finis mon thé et je regarde ton message.
Amicalement
Je vois!
Mais je crois que $bs$ que je salue s'il est encore là, y a répondu, il y a neuf ans!
Amicalement
[small]p[/small]appus
non seulement le milieu de HP (orthocentre, point "père" de la droite) est sur la droite, mais il est aussi sur le cercle d'Euler!
je vois tout ça en déformant les figures, mais la démonstration est à l'infini par rapport à mes capacités
cordialement
JCR
J'ai un doute sur ta dernière affirmation. Calcule $IN$ avec $N$ centre du cercle d'Euler.