L'angle de 20 degre
Réponses
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Si tu acceptes le tracé non précis, on peut s'approcher de n'importe quel angle aussi près qu'on veut par dichotomie puisque on sait tracer une bissectrice.
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Leila, bonsoir,
Ici une construction approchée de l'ennéagone http://www.irem.univ-montp2.fr/archi/mathtxt/polygone/approx9.php
En quelle classe es-tu ?
Du monde à la maison...
Bon courage. -
Bonjour,
en page jointe, il y a une méthode de tracé approché d'une grande précision, avec par exemple l'angle de 20° ( Magazine QUADRATURE n°52, page 4, avril 2004 )
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Salut.
Merci beaucoup pour les reponses ; j'ai entendu dire qu'on peut trouver d'autres methodes telle que de :Jean Claude Carrega .............
Encore un grand merci.
Leila -
Bonsoir Leila.
Jean Claude Carréga a rédigé un livre très intéressant "Théorie des corps, la règle et le compas" où il traite ce type de problème. Je n'ai pas le souvenir qu'il parle de construction approchée, par contre il justifie l'impossibilité de construire certains angles à la règle et au compas.
Cordialement -
Bonsoir Leila,
Comme tu n'étais pas réapparue, et que JJ était passé par là, je ne l'avais pas mentionné; effectivement, Carréga propose en exercice 14 p205, une élégante construction approchée de l'ennéagone, basée sur le fait que $\frac{5 \sqrt{3} - 1}{10} $ est une valeur approchée de $cos \frac{2 \pi}{9}$ à $2.10^{-4}$ près.
Il me semble d'ailleurs, que les anciens bâtisseurs de cathédrales utilisaient cette méthode , lorsqu'ils avaient des ennéagones à sculpter sur les chapiteaux.
Bonne soirée. -
Bonjour.
Je pense qu'on peut ameliorer la valeur[5.(3)^1/2-1].1/10 qui est une valeur approchée de cos(20)à 2.1/10^4 près.
J'en suis certaine.
Leila
A suivre -
Bonjour Leila,
D'abord, Je pense qu'on peut améliorer la valeur[5.(3)^1/2-1].1/10 qui est une valeur approchée de cos(20)à 2.1/10^4 près. :... c'est plutôt cos(40).
Ensuite, tu as à ta disposition une demi-douzaine de méthodes pour construire un angle de 20° approché à l'aide du compas et de la règle, dont deux avec une précision supérieure à l'erreur générée par l'épaisseur du crayon.
Question: que recherches-tu exactement ?
Bon dimanche. -
Bonjour Leila,
En effet, "bs" a bien raison : la première chose est de savoir ce que l'on cherche !
La méthode que j'ai indiquée est nettement plus simple (moins de tracés) que celle consistant à passer par la construction du cosinus : elle donne 20,003° ( par suite, le cosinus correspondant diffère de 0,00005 par rapport au cosinus exact).
Mais je ne milite pas spécialement pour la méthode que j'ai indiquée seulement en raison de sa simplicité: il y en a beaucoup d'autres bien plus précises.
Par exemple, ainsi que "bisam" l'a très justement rappelé, la méthode par tracé de bissectrices successives donne, par dichotomie, une précision aussi grande que l'on veut.
Mais cela ne sert à rien du tout : L'épaisseur du trait de crayon occasionne des déviations qui rendent sans intéret de telles précisions. Alors autant choisir une méthode simple, facile à retenir et demandant très peu de tracés. -
Salut .
Je tiens à vous remercier beaucoup pour les informations et les conseils .
A bientot -
Bonjour.
Je pense que le nombre 5.(3)^1/2-1].1/10 a une relation avec le nombre d'or.
Leila -
Bonsoir,
Le nombre $\frac{5 \sqrt{5} - 1}{10} $ a un rapport avec le nombre d'or.
Amicalement
Cucherat
-
bonjour.
Le nombre 5.(3)^1/2-1].1/10 a un rapport avec le nombre d'or.
Puis je avoir plus de details
Leila -
Bonsoir,
Tu écris: "Le nombre 5.(3)^1/2-1].1/10 a un rapport avec le nombre d'or", or,
le nombre d'or= $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$...
Bonne soirée. -
Beaucoup d'expressions ont un rapport avec le nombre d'or, y compris la curieuse fraction : $\frac{1000}{998999}$ . Je ne crois pas que cela soit le cas de 5.(3)^1/2-1].1/10 .
Amicalement
J.C. -
Salut .
Pour la construction approchée proposée par JJ :
Quel est le nombre des iterations .
Quelle est la precision .
Leila -
Bonjour Leila,
La méthode décrite dans l'article publié dans le QUADRATURE n°52, page 4, avril 2004 permet de construire un angle dont la valeur théorique est 20,003°. L'erreur absolue est donc 0,003° et l'erreur relative est 0,000015
La figure montre que ceci est obtenu en tracant seulement trois bissectrices.
C'est donc beaucoup plus rapide que par la méthode dichotomique classique qui, pour la même précision (et en partant d'un angle de 30°), demanderait le tracé de teize bissectrices.
Bien entendu, tout ceci est théorique. En pratique, quelque soit la méthode,l'épaisseur du trait ne permet pas de distinguer des différences d'une fraction de degré.
Mais, même si l'on se limitait à une précision de 0,5°, bien suffisante en pratique pour le tracé approximatif de l'angle de 20°, la méthode dichotomique demanderait de tracer six bissectrices, ce qui serait donc plus long que le tracé des trois bissectrices de la méthode décrite dans QUADRATURE. -
Il me semble que si on part des 2 angles de 45° et 30°, on peut arriver à presque 20° en 4 bissectrices :
- on trace 22,5°=45/2
- on trace 15°=30/2
- on trace 18,75°=(15+22,5)/2
- on trace 20,625°=(18,75+22,5)/2 -
Bien vu, bisam !
Je ne suis pas du tout étonné que l'on propose une pléthore de méthodes à partir du moment où on est raisonablement exigent sur la précision.
Sans compter la foule de méthodes de trisections approchées, en partant d'un angle de 60 ou de 30°.
Parmi ces innombrables constructions, en voici un exemple ulta simple, sur la base d'un angle de 30°, qui donne environ 10° par trisection, d'où la différence de 20° avec une précision de 0,1°
- Cet exemple est extrait de l'article que l'on trouve sur ce forum :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?8,file=7799
dans la discussion :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,410762
On trouverait dans cet article de nombreuses autres constructions qui donneraient 20° avec des précisions largement meilleures. -
-
Bonjour.
La construction approchée proposée par JJ est excellente mais pour la petite precision ( pour trois bissectrices c'est tout).
Donc elle est limitée : l'angle = 20,003 degré. (relative pour la troisieme bissectrice).
Questions:
1) Pour la grande precision : est-elle applicable ; est elle valable.
2) peut-on tracer : (une quatrieme ; une cinquieme ; une sixieme ;une septieme
une huitieme ;............une enieme)BISSECTRICE.
pour atteindre la grande precision de l'angle =20,000000000000000000000000003 .
Si elle est valable pour la petite precision ; donc elle n'est pas la meilleur.
A mon avis ce qui nous interesse c'est la grande precision.
Je pense que JJ aura certainement une explication à nous donner.
Leila -
Bonjour Leila,
en fait, je ne vois pas pourquoi tu cherches une si grande précision (théorique) puisqu'elle est illusoire en tracé réel.
Si c'est dans un but purement spéculatif, alors c'est différent : chacun est libre de faire les recherches qu'il veut et le plus souvent de réinventer ce qui a été publié depuis Mathusalem (c'est un peu exagéré. Disons depuis les Grecs de l'antiquité, ce sera suffisant).
Tu poses la question :
"peut-on tracer : (une quatrieme ; une cinquieme ; une sixieme ;une septieme
une huitieme ;............une enieme)BISSECTRICE.
pour atteindre la grande precision de l'angle =20,000000000000000000000000003 ? "
Mais bien sûr que l'on peut : la méthode dichotomique est connue depuis des siècles (on pourait même dire des millénaires). Cette méthode a été citée plusieurs fois. Ne la connais-tu pas ? On l'a déjà dit : elle permet théoriquement d'atteindre LA PRECISION QUE L'ON VEUT.
Et encore mieux : La méthode dichotomique possède une foule de variantes qui améliorent la rapidité de convergence. Alors je ne conseille pas spécialement cette méthode en particulier. Il suffit de se documenter : Il y a un aperçu (très succinct) de tout cela dans le lien donné dans l'un des posts précédents. -
Salut,
je me permet de rajouter une question :
Si on dispose, outre la règle et le compas, d'un instrument pour construire la racine cubique d'un nombre réel, est-il possible de construire exactement un angle de 20° ? -
Cucherat Écrivait:
> $\frac{1000}{998999}$ . Je ne crois pas que cela
> soit le cas de 5.(3)^1/2-1].1/10 .
>
??? -
Davy écrivait:
de 5.(3)^1/2-1].
> $\frac{1000}{998999}$
> ???
Il faut faire la division.
Cordialement
Cucherat -
Bonjour
A quoi sert de chercher d'autre nouvelles construction approchées pour la trisection de l'angle de 60 degré ; alors que les constructions approchées existantes (déjà découvertes) sont nombreuses.
Leila
[Leila, comme dit BS ci-dessous, autant continuer sur le fil que tu as déjà ouvert sur le sujet. AD] -
Bonsoir,
A quoi sert d'ouvrir un autre fil sur de nouvelles constructions approchées pour la trisection de l'angle de 60 degrés, alors que les constructions approchées existantes ( déjà découvertes ) ont déjà été évoquées dans le fil ci-joint : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,421597,421597#msg-421597
Amicalement. -
Sur un thème assez proche j'avais proposé il y a quelque temps ( avec peu de succès ) une construction simplissime permettant le tracé et la mesure d'angles par une simple lecture sur une règle avec une approximation inférieure au demi-degré .
Domi
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Bonjour!
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