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Aire de l'intersection de deux disques

Envoyé par BR 
BR
Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
Bonjour à tous,
Cela fait un moment que je ne suis pas venu sur ce site, que de changements !
Voici ma question : je dois déterminer l'aire d'intersection de deux cercles, en ne connaissant que leur rayon respectif et la distance entre leurs centres. Est-ce possible ? Comment faire ?

Merci
Baptiste

[Corrigé le titre (disques et non cercles) conformément à ton indication. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Ne s'agit-il pas plutot de deux disques ?
Bonjour,
Puisque seuls les rayons et la distance des centres sont imposés, je crois que je centrerais les deux cercles sur l'axe des abscisses d'un repère orthonormé.
Une fois déterminées les coordonnéees des deux points d'intersection éventuels on en déduit la mesure des angles au centres définis par ces points (Arcsinus ou autre).
Le reste est un calcul d'aire de triangles et de secteurs circulaires.
Calcul qui n'est peut-être pas des plus simples, il est vrai.
BR
Re: Aire de l'intersection de deux cercles
il y a six années
Oui, désolé, c'est bien l'aire de deux disques, et non pas cercles...

En fait, un des disques se déplace sur l'autre avec une vitesse de déplacement donnée, et je dois être capable de calculer simplement l'aire commune à chaque déplacement.
Braun, ton idée est bonne, mais compliquée à mettre en oeuvre à chaque pas de déplacement...
remarque
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
L'idée de Braun n'est pas si compliquée : tu obtiens l'aire $T$ du triangle $AFC$ par la formule de Héron en fonction des deux rayons et de la distance des centres. Tu en déduis la hauteur $FG$ en fonction de la surface et de la distance des centres. Tu en déduis les tangentes des angles $\widehat{FCA}$ et $\widehat{FAC}$ en fonction de la hauteur et des rayons respectifs. Tu en déduis les aires $S_1$ et $S_2$ des secteurs circulaires à partir de ces angles et des rayons. L'aire qui t'intéresse est $2(S_1+S_2-T)$.

[attachment 8609 Image1.png]
remarque
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
Ce sont les sinus et pas les tangentes, bien sûr. Par ailleurs, en jouant avec Geogebra, je m'aperçois que c'est pas si sûr que la formule reste vraie dans tous les cas... par exemple, si l'intersection des disques n'est pas incluse dans le triangle.
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
Bonjour,(une idée : j'ai pas le courage de faire les calculs ..)
En posant $D_r=D(0,r)$ , $D_R=D(0,R) $ et $A =1_{D_r} \otimes 1_{D_R}$ définie sur $\R^2$ alors $A(x,y)$donne exactement l'aire de l'intersection quand le deplacement est de $\sqrt \{x^2+y^2\}$

($A$ s'annule en dehors de $D(0,r+R)$ : pas d'intersection quant le depacemment est supérieur à $r+R$)

pour le calcul de $A$ :je propose de passer par Fourier et Fourier inverse de deux variables ou Hankel et Hankel inverse d'une seule variable puisque les fonctions considerées sont radiales ....)

Bon courage
BR
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
Merci pour ces début de réponses, je ne pensais vraiment pas que cela serait aussi compliqué...

Je vais reposer le problème pour m'approcher le plus possible de la réalité :
Soit deux disques C et C' respectivement de centre O et O' et de même rayon R. Les deux disques sont coplanaires. Initialement, ils sont parfaitement superposés (O et O' sont confondus). On déplace le cercle C' (C restant fixe) d'une distance d, puis, d'une distance d', puis d'une distance d'' (d<d'<d''), ... Ces distances étant prises toujours dans la même direction et le même sens (droite OO').
Mon problème est que j'aimerais connaître simplement, l'aire de la portion commune à chaque disque pour chaque d.
Est-ce possible simplement ? C'est pour un code de calcul...
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
Il me semble que tout a été dit non?

Soit $d=OO'$, $y_0=\frac d2$ et $x_0=\sqrt{R^2-y_0^2}$, alors sauf erreur de calcul l'aire cherchée doit être:

$$2\left[ \arccos(\frac{y_0}R)R^2-x_0y_0\right]$$

Ps: j'avais oublié que ce forum était aussi lent, cela en est désespérant et franchement rebutant (et je ne dois pas être le seul...). Pourquoi une bonne fois pour toutes ne pas prendre un forum moderne phpBB et le faire héberger chez un hébergeur de projets libres comme tuxfamily?
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
avatar
Soit $R_1$ et $R_2$ les rayons des 2 cercles et $d$ la distance entre leurs centres.
Soit $h$ la moitié de la distance entre les points d'intersection des 2 cercles alors on trouve que : $$h=\frac{1}{2d}\sqrt{\left((R_1+R_2)^2-d^2\right)\left(d^2-(R_1-R_2)^2\right)}$$ et l'aire $A$ de l'intersection des 2 disques vaut $$A=R_1^2arcsin \left( \frac{h}{R_1} \right) + R_2^2arcsin \left(\frac{h}{R_2} \right)-hd$$
remarque
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
@ incognito : je suis bien d'accord que le forum est terriblement lent et que c'est assez pénible, mais bon, personne ne nous oblige à l'utiliser. Je vois plusieurs autres forums de maths beaucoup plus rapides, ce qui est effectivement nettement mieux, mais je n'en ai pas vu où la qualité typographique du LaTeX approche celle du présent forum. Or pour moi, avoir de belles formules et pas des trucs cracra mal positionnés comme on en voit souvent, c'est fondamental pour le confort de lecture. S'il y a passage à une autre solution informatique, il serait dommage qu'elle détruise le LaTeX des maths.net.
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
@ remarque: je suis d'accord avec toi, mais il n'y a pas que les belles formules, il y a aussi du "beau monde" parfois, ce qui vaut déjà le détour par ici.
{\bf ATTENTION} la formule avec les arcsinus donne un résultat {\bf faux} quand le point {\bf G} ne se trouve pas entre les points {\bf A} et {\bf C} (voir figure ci-dessus). Il faut utiliser la formule avec arccosinus qui fonctionne dans tous les cas. on trouve les formules exactes avec une démonstration (en anglais) sur les pages :
\lien{[mathworld.wolfram.com]} et
\lien{[mathworld.wolfram.com]}
De plus, ces formules doivent être complétées par un certain nombre de cas particuliers qui ne sont pas couvert par la formule "générique"
Si les disques sont disjoints, la surface est nulle
Si un disque est complètement inclus dans l'autre, la surface de l'intersection est celle du plus petit.
la formule Générique est donnée par (avec $R=R_1$ et $r=R_2$)
$$r^2\cos^{-1}(\frac{d^2+r^2-R^2}{2dr})+R^2\cos^{-1}(\frac{d^2+R^2-r^2}{2dR})-1/2\sqrt{(-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R)}$$

[Activation des liens. AD]
:S mon proffeseur de maths nous a dit de nous donner plusieur façon de fair des intersection avec des cercles mais je ne voi po plusieur façon de faire si vous pouvez m'aider ce serai tros simpo merci!;)
Re: Aire de l'intersection de deux disques
il y a six années
avatar
Ici, on n'écrit pas en poney. Merci. :X

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Bonjour,


Je cherche une formule pour "d" lorsqu'on connaît l'aire de l'intersection de deux disques ainsi que leur rayons "R" et "r". Quelqu'un a une idée?

Merci!
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