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Intersection plan/sphère

Envoyé par Sam le pirate 
Sam le pirate
Intersection plan/sphère
il y a dix années
Bonjour à tous :)

On me demande de déterminer l'intersection d'un plan et d'une sphère...
En l'occurence la sphère d'équation
$S$ : $(x+1)^2+(y-3)^2+z^2=49$ $\Omega$ son centre
Et le plan P d'équation
$P$ : $2x+y=0$

J'ai plusieurs questions...
J'expose le truc que j'ai fait... et après je pose mes questions...

Je calcul tout d'abord la distance de $P$ à $\Omega$

$d(\Omega,P)=1/\sqrt{5} <7$

Donc l'intersection du plan et de la sphère est un cercle !

Qui a pour rayon :

$r^2=7^2-(1/\sqrt{5})^2 $
$r = \sqrt{244/5}$

Ensuite je calcule le centre du cercle :

Donc je prend un point $\omega$


Et j'utilise le fait que $\omega$ appartienne à $P$ et que le vecteur $\Omega\omega$ est colinéaire à un vecteur normal de $P$ (par exemple : $(2,1,0)$)

Je trouve ainsi pour $\omega$ : $(-4/5,8/5,0)$


Et pour vérifier mes calculs j'ai pris un point de la sphére qui appartenait aussi au plan, je calcule la distance de ce point à $\omega$ ...

Manque de bol je trouve pas le bon rayon !! mdr :D

Alors ben euh je pige pas ou est ce que j'ai faux :D

Et j'ai une question en effet tous ce que j'ai fait repose sur le fait que le projeté de $\Omega$ sur $P$ était le centre du cercle mais pourquoi c'est vrai ça ??
Enfin je trouve cette méthode pour un lycéen particulièrement laborieuse...
Je suis passé à coté d'autre chose, de plus simple ?


Amicalement
Un étudiant du capes qui bosse le deuxième oral ^^
Re: Intersection plan/sphère
il y a dix années
avatar
Bonjour.

Tu dois t'être trompé sur les coordonnées de $\omega$ car, en faisant un schéma, il est clair que son abscisses est inférieure à $-1$ abscisse de $\Omega$. Je trouve : $(-7/5,14/5,0)$.

Bruno
Sam le pirate
Re: Intersection plan/sphère
il y a dix années
Quel crétin je suis et pourtant j'ai refait 3 fois le calcul...:o

Merci bien Bruno :)

Et sinon je pige pas pourquoi est ce que le projeté du centre de la sphère correspond au centre du cercle ??
Re: Intersection plan/sphère
il y a dix années
avatar
Bonsoir

La perpendiculaire au plan passant par le centre de la sphère est un axe de symétries (en particulier, les rotations autour de cet axe conservent la figure sphère/plan).
D'autres explications sont possibles.

Cordialement
Kushi
Re: Intersection plan/sphère
il y a neuf années
Salut,

pourquoi résoudre le système d'équations (celle de la sphère et du plan) ne donne pas de résultat?

Merci!
Re: Intersection plan/sphère
il y a neuf années
avatar
Bonjour Kushi.

Comment cela ne donne pas de résultat ? Qu'espères-tu comme résultat ?

Tu peux toujours éliminer la troisième coordonnée entre les deux équations ce qui te laisse une relation du second degré entre les deux coordonnées restantes ; cette relation permet d'obtenir ces deux coordonnées en fonction (rationnelle si tu le souhaites) d'un paramètre. Un retour sur l'équation du plan te permet d'obtenir la troisième coordonnée en fonction de ce paramètre et ton cercle et ainsi obtenu comme un arc paramétré.

Bruno
Re: Intersection plan/sphère
il y a douze jours
Citation
Gerard à la maison
La perpendiculaire au plan passant par le centre de la sphère est un axe de symétries (en particulier, les rotations autour de cet axe conservent la figure sphère/plan).
D'autres explications sont possibles.

Désolé de remonter un si vieux sujet mais je bloque exactement sur le point soulevé par Gerard à la maison.

J'ai fait une représentation de cet exercice (sur geogebra cela me donne n'importe quoi !) sur paint:

L'intérêt de la projection orthogonale dans ce cas est de pouvoir récuperer les coordonnées du centre du cercle ?

Je pensais que les 2 vecteurs devaient être linéairement indépendants pour pouvoir appliquer la projection orthogonale, je pensais faux ? ou c'est ma représentation de l'intersection plan/sphère qui est fausse ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par valkar83.


Re: Intersection plan/sphère
il y a douze jours
Citation

Je pensais qu'il fallait que les 2 vecteurs ne soient pas colinéaires
Quels deux vecteurs ?

Avec Geogebra, et les données du problème :


Re: Intersection plan/sphère
il y a onze jours
Le vecteur normal au plan et le vecteur joignant les 2 centres (de la sphère et du cercle).


Au passage, j'avais écrit n'importe quoi :
"linéairement indépendants ", je voulais dire que la condition nécessaire pour réaliser une projection orthogonale : c'était que les 2 vecteurs ne soient pas colinéaires.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par valkar83.
Re: Intersection plan/sphère
il y a onze jours
Toujours incompréhensible, même si on sait maintenant qui sont les deux vecteurs.
Re: Intersection plan/sphère
il y a onze jours
Heu ... pour projeter (orthogonalement) un point sur un plan, il suffit du point et du plan. Après, pour calculer différentes choses, on mettra en œuvre ce qui convient.

Mais que le centre d'un cercle de la sphère soit le projeté du centre de la sphère sur le plan du cercle, c'est de la géométrie élémentaire (théorème de Pythagore).

Cordialement.
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