Intersection plan/sphère

Bonjour à tous

On me demande de déterminer l'intersection d'un plan et d'une sphère...
En l'occurence la sphère d'équation
$S$ : $(x+1)^2+(y-3)^2+z^2=49$ $\Omega$ son centre
Et le plan P d'équation
$P$ : $2x+y=0$

J'ai plusieurs questions...
J'expose le truc que j'ai fait... et après je pose mes questions...

Je calcul tout d'abord la distance de $P$ à $\Omega$

$d(\Omega,P)=1/\sqrt{5} <7$

Donc l'intersection du plan et de la sphère est un cercle !

Qui a pour rayon :

$r^2=7^2-(1/\sqrt{5})^2 $
$r = \sqrt{244/5}$

Ensuite je calcule le centre du cercle :

Donc je prend un point $\omega$


Et j'utilise le fait que $\omega$ appartienne à $P$ et que le vecteur $\Omega\omega$ est colinéaire à un vecteur normal de $P$ (par exemple : $(2,1,0)$)

Je trouve ainsi pour $\omega$ : $(-4/5,8/5,0)$


Et pour vérifier mes calculs j'ai pris un point de la sphére qui appartenait aussi au plan, je calcule la distance de ce point à $\omega$ ...

Manque de bol je trouve pas le bon rayon !! mdr

Alors ben euh je pige pas ou est ce que j'ai faux

Et j'ai une question en effet tous ce que j'ai fait repose sur le fait que le projeté de $\Omega$ sur $P$ était le centre du cercle mais pourquoi c'est vrai ça ??
Enfin je trouve cette méthode pour un lycéen particulièrement laborieuse...
Je suis passé à coté d'autre chose, de plus simple ?


Amicalement
Un étudiant du capes qui bosse le deuxième oral ^^