asymptotiques à une surface
Salut
Voici la bête :
Soit $f : U \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ une surface paramétrée régulière de classe $\mathcal C^2$
Soit $\gamma : I \subset \mathbb{R} \rightarrow U$ une courbe paramétrée régulière de classe $\mathcal C^2$, et soit $\alpha=f\circ\gamma$
On suppose que la courbure de $\alpha$ ne s'annule jamais.
On dit alors qu'une telle courbe $\alpha$ est asymptotique à la surface $f$ si, pour tout $t \in I$, le plan osculateur à $\alpha$ en $t$ et le plan tangent à $f$ en $\gamma(t)$ sont égaux.
J'ai déjà montré que $\alpha$ est asymptotique à la surface $f$ ssi $\vec{N}\big(\gamma(t)\big).\alpha^{''}(t)=0$ et que $\alpha$ est asymptotique à la surface $f$ ssi $\dfrac{\mathrm d(\vec{N}(\gamma(t)))}{\mathrm dt}.\alpha^{'}(t)=0$
On me demande maintenant en application de décrire les asymptotiques à la surface $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y)=(x,y,x^2+y^2)$
Voilà où j'en suis : j'ai utilisé les deux résultats suivants pour aboutir aux relations suivantes :
$$\gamma_1\gamma_1^{''}+\gamma_2\gamma_2^{''}- \gamma_1^{'}\gamma_1-\gamma_2^{'}\gamma_2 = 0 \qquad\mathrm{ et } \qquad (\gamma_1^{'})^2 +(\gamma_2^{'})^2 =0 $$
Mais ceci implique que $\gamma_1=\gamma_2=0$ !!!
Où ai-je fait une erreur ??
Merci !
Voici la bête :
Soit $f : U \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ une surface paramétrée régulière de classe $\mathcal C^2$
Soit $\gamma : I \subset \mathbb{R} \rightarrow U$ une courbe paramétrée régulière de classe $\mathcal C^2$, et soit $\alpha=f\circ\gamma$
On suppose que la courbure de $\alpha$ ne s'annule jamais.
On dit alors qu'une telle courbe $\alpha$ est asymptotique à la surface $f$ si, pour tout $t \in I$, le plan osculateur à $\alpha$ en $t$ et le plan tangent à $f$ en $\gamma(t)$ sont égaux.
J'ai déjà montré que $\alpha$ est asymptotique à la surface $f$ ssi $\vec{N}\big(\gamma(t)\big).\alpha^{''}(t)=0$ et que $\alpha$ est asymptotique à la surface $f$ ssi $\dfrac{\mathrm d(\vec{N}(\gamma(t)))}{\mathrm dt}.\alpha^{'}(t)=0$
On me demande maintenant en application de décrire les asymptotiques à la surface $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y)=(x,y,x^2+y^2)$
Voilà où j'en suis : j'ai utilisé les deux résultats suivants pour aboutir aux relations suivantes :
$$\gamma_1\gamma_1^{''}+\gamma_2\gamma_2^{''}- \gamma_1^{'}\gamma_1-\gamma_2^{'}\gamma_2 = 0 \qquad\mathrm{ et } \qquad (\gamma_1^{'})^2 +(\gamma_2^{'})^2 =0 $$
Mais ceci implique que $\gamma_1=\gamma_2=0$ !!!
Où ai-je fait une erreur ??
Merci !
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Réponses
je n'ai pas vérifié tes calculs, mais ce résultat n'est peut-être pas surprenant : à vue de nez, ta surface a une courbure $>0$ en tout point (c'est un paraboloïde de révolution), sa seconde forme fondamentale est définie positive en tout point et donc les asymptotiques n'existent pas.
Cordialement, j__j
je ne connaissais pas ce résultat ...
Mais là on a $\gamma_1(t)=\gamma_2(t)=0$ et cela veut donc dire que les asymptotiques n'existent pas ??
Merci
Oui, on a plutôt $\gamma_1=$ constante et $\gamma_2=$ constante, mais cela revient bien à dire qu'elles n'existent pas : tu les a cherchées régulières !
Cordialement, j__j
Merci John_john