Intersection de deux cylindres

AlphaBeta · July 2008

Bonsoir,

Je sèche sur un exercice...

Est-il possible de calculer le volume de l'intersection de deux cylindres, le premier de rayon $R$ et d'axe $(Ox)$, et le second de même rayon $R$ et d'axe $(Oy)$ ?

Même la représentation de cette intersection me pose problème ! Quant au calcul, je ne sais pas du tout comment l'aborder. Avec une intégrale triple ?

Merci à tous pour vos réponses,

Bon week-end,

AlphaBeta.

gb · July 2008

Comme les deux cylindres ont même rayon, la section de leur intersection par le plan de cote $z$ est un carré dont il faut déterminer le côté $a(z)$, son aire étant alors $S(z)=a(z)^2$, et le volume de l'intersection des cylindres est
$$V = \int_{-R}^R S(z)\,dz = \int_{-R}^R a(z)^2\,dz = 2\int_0^R a(z)^2\,dz,$$
la dernière égalité provenant de la symétrie de la figure par rapport au plan $xOy$.

Guego · July 2008

Le côté $a(z)$ mesure $2\sqrt{R^2-z^2}$. Le volume est donc $\dfrac{16R^3}{3}$.

Remarque0 · July 2008

Et pour la représentation, ça donne ceci :

9445

AlphaBeta · July 2008

Bonjour à tous,

Un grand merci à gb, Guego et remarque pour vos réponses.

Je commence à comprendre comment ça marche.

une question à remarque : avec quel logiciel as-tu fais ce dessin ?

Bon week-end,

AlphaBeta.

Remarque0 · July 2008

Avec Grapher sous Mac OS X.

jonattan · July 2008

Est-ce les courbes définissant l'intersection de ces deux cylindres

sont des ellipses ?

Remarque0 · July 2008

Oui.

pappus · November 2010

On peut faire le même exo avec deux axes concourants sous un angle $\alpha$!
Amicalement
Pappus
PS
Je serais curieux de connaitre le volume de l'intersection de 3 cylindres de révolution de même rayon $R$ dont les axes $Ox$, $Oy$, $Oz$ sont orthogonaux deux à deux d'abord puis forment ensuite des angles quelconques.

V_incent · November 2010

ça donne :
17611

Intersection de deux cylindres

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Bonjour!

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