Lieu du centre d'une ellipse
Chers amis
Voici un exo que je pense intéressant.
Une ellipse de grand axe a et de petit axe b est assujettie à rester tangente en O à la droite Ox. Quel est le lieu de son centre?
Je connais au moins deux façons de faire cet exo mais il y en a peut-être d'autres.
Je pose cette question car j'ai en vue l'exo suivant:
Un ellipsoïde d'axes a > b > c est assujetti à rester tangent en O au plan Oxy.
Quel est le lieu de son centre? Et là, je ne connais pas la réponse!
Très amicalement
Pappus
Voici un exo que je pense intéressant.
Une ellipse de grand axe a et de petit axe b est assujettie à rester tangente en O à la droite Ox. Quel est le lieu de son centre?
Je connais au moins deux façons de faire cet exo mais il y en a peut-être d'autres.
Je pose cette question car j'ai en vue l'exo suivant:
Un ellipsoïde d'axes a > b > c est assujetti à rester tangent en O au plan Oxy.
Quel est le lieu de son centre? Et là, je ne connais pas la réponse!
Très amicalement
Pappus
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Réponses
Voici le point de mes réflexions :
1°) Attaque par le mouvement plan sur plan : la base est la droite (D) perpendiculaire en O à la droite (Ox). La roulante ? C'est une courbe parallèle à la développée de l'ellipse et, d'après le principe ,de simplicité, je présume que c'est celle-ci. Même avec cette hypothèse, je ne vais pas plus loin.
2°) Les symétries : le lieu est symétrique par rapport à la droite (D). Il coupe celle-ci aux points A et A' tels que OA = a et OA' = b et siyués dans le demi-plan contenant l'ellipse. Vu les symétries de l'ellipse ce lieu est symétrique par rapport à la droite (Ox) et par rapport au milieu des points A et A', donc par rapport à la médiatrice de AA'.
Conclusion : sachant que le lieu d'un point est toujours une droite, qu'à la rigueur ce peut être un cercle et, à l'extrême rigueur une conique, je pense que le lieu cherché est l'ellipse ABA'B'.
Bruno
Comme quoi le dessin expérimental...
$$\left( \frac{(a^2-b^2)\sin(t)\cos(t)}{\sqrt{a^2\sin(t)^2+b^2\cos(t)^2}}, \frac{ab}{\sqrt{a^2\sin(t)^2+b^2\cos(t)^2}} \right)$$
Ce qui ressemble un peu à une ellipse tassée (sur l'image, la courbe avec $a=2$ et $b=1$)
Par le calcul, j'arrive à une équation cartésienne du lieu : comme les projections des foyers d'une ellipse sont à une distance $a$ du centre de l'ellipse, ce centre $C$ a une abscisse $x$ telle que $|x|\le a$. Soit $y$ l'ordonnée de ce dernier. Si $|x|\le a$,
le cercle de centre $C$ et de rayon $a$ coupe la tangente $Ox$ en les points $(x+r,0)$ et $(x-r,0)$, où $r = \sqrt{ a^{2}-y^{2} }$. Ces deux points donnent donc les abscisses des foyers : $x \pm r$.
Soit un point $F$ de coordonnées $(x+r,Y)$ ; la droite $OF$ admet une symétrique par rapport à $Ox$ qui coupe la droite $X=x-r$ en le point $F' (x-r,-\dfrac{(x-r)Y}{x+r})$ (cf propriété d'une tangente à une ellipse : les rayons joignant le point de contact aux foyers sont symétriques par rapport à celle-ci).
Reste à écrire que $C=\dfrac{ F+F{'}}2$ et que $\|FF{'}\|=2c$.
Un calcul immédiat montre alors que cela équivaut à : $x^{2}y^{2} = (a^{2}-y^{2}) (y^{2}-b^{2})$.
Réciproquement, lorsque le point $C$ vérifie l'équation $X^2 Y^2 = (a^2-Y^2) (Y^2-b^2) = 0$, on a bien $|x| \le a$ et la droite $Ox$ est effectivement la bissectrice extérieure de $OF,OF{'}$.
Ainsi, le lieu est une quartique circulaire. Vérification faite, c'est la même courbe que celle de Guego, et cela confirme l'heuristique de Bruno : exceptionnellement, un lieu n'est pas une conique.
Voici mes deux méthodes sans trop détailler.
J'écris les formules de passage du repère mobile dans lequel l'ellipse a son équation réduite au repère fixe:
x = X cos(p) - Y sin(p) + u
y = X sin(p) + Y cos(p) + v
On paramètre l'ellipse dans son repère mobile par:
(1) X = a(1 - t²)/(1 + t²)
(2) Y = 2bt/(1 + t²)
On injecte dans les formules de passage et la 2ème équation fournit une équation du second degré en t qui doit avoir une racine double.
On trouve en annulant le discriminant
v² = a².sin²(p) + b².cos²(p)
La racine double est:
t = b.cos(p)/(a.sin(p) - v)
doit être aussi solution de (1)
On trouve :
u.v = c².sin(p).cos(p)
Les coordonnées (u, v) du centre de l'ellipse sont données par:
u = (epsilon).c².sin(p).cos(p)/sqrt(a².sin²(p) + b².cos²(p)
v = (epsilon).sqrt(a².sin²(p) + b².cos²(p))
On retrouve la quartique de John-John!
C'est assez bourrin mais ainsi c'est un bon exo sur les changements de base
Voici l'autre méthode plus rapide qui me laisse espérer une généralisation à l'ellipsoïde.
Je donne simplement l'indication pour vous laisser le plaisir de trouver:
Appliquer les 2 théorèmes d'Appolonius sur les diamètres conjugués d'une ellipse.
Pour l'ellipsoïde, on a droit à 3 théorèmes d'Appolonius mais je ne m'en sors pas!
Amicalement
Pappus
PS
1°
J'aimerai bien aussi avoir une figure Cabri avec une belle animation!
2°
Comment utiliser Latex dans le cadre de ces messages?
Bruno
Finalement, je suis arrivé à tracer une figure Cabri de ce problème et à l'animer.
Ce n'est pas plus difficile que cela après tout.
En voici le résultat.
Très amicalement
Pappus
Voici une figure Cabri expliquant comment utiliser les théorèmes d'Apollonius sur les diamètres conjugués d'une ellipse pour obtenir le lieu du centre d'une ellipse dont on connait les longueurs des axes et assujettie à rester tangente à une droite en un point donné.
Peut on appliquer cette même méthode dans le cas d'un ellipsoïde d'axes donnés et assujetti à rester tangent à un plan en un point donné?
Amicalement
Pappus
sommes-nous encore nombreux à réfléchir à l'exo de {\sc Pappus} ? Il y a encore, il est vrai, d'intéressantes questions pendantes :
\begin{enumerate}
\item La quartique est, semble-t-il, elliptique. Il devrait donc y avoir une loi de groupe abélien sur celle-ci (et même une infinité de telles lois). Y a-t-il une construction géométrique intéressante pour l'une d'entre elles ? En d'autres termes : comment, à deux centres d'ellipses de la famille en associer géométriquement un troisième pour avoir une loi de groupe ?
\item La famille des ellipses a sans doute une enveloppe non réduite au point~$O$. En effet, deux ellipses isométriques et tangentes en~$O$ à $Ox$ s'y coupent en deux points confondus. Si elles sont proches l'une de l'autre, elles se coupent sans doute aussi en deux autres points {\bf réels} -- sinon, puisqu'elles sont de même aire, elles seraient extérieures l'une à l'autre et tangentes en même temps. Difficile à imaginer pour deux ellipses proches. De ce fait, on peut espérer l'existence d'un, voire de deux, points caractéristiques et donc une enveloppe.
\end{enumerate}
Du pain sur la planche ! Amitiés à tous, j__j
A défaut de faire des calculs assommants, je me suis contenté de faire tracer par Cabri l'enveloppe de ces ellipses.
Le résultat n'est pas fameux mais cela donne déjà une petite idée de cette courbe.
Evidemment, on obtiendrait un meilleur résultat en calculant explicitement les coordonnées des 2 points caractéristiques mais je suis si paresseux.
-D
Pappus
une animation du lieu cherché
http://www.mathcurve.com/courbes2d/glissette/glissette.shtml
Merci pour cette excellente référence déjà abondamment citée ici même!
Evidemment Cabri permet aussi cette animation, dommage que je ne puisse la faire partager aux habitués du phorum.
Je vais quand même essayer de trouver cette enveloppe si les calculs ne sont pas trop compliqués.
Je me suis attaqué aussi à la glissette de l'ellipsoïde via les théorèmes d'Apollonius; je trouve pour le lieu du centre une surface algébrique de degré assez élevé mais j'ai dû me tromper dans mes calculs car cette surface devrait être de révolution, ce qui n'est pas!
Les théorèmes d'Apollonius pour une ellipse sont très connus et faciles à montrer sur une paramétrisation de l'ellipse.
Pour un ellipsoïde ( en dimension 3) et a fortiori en dimension quelconque n, ils le sont beaucoup moins.
Bien sûr, on en trouve une démonstration ultra moderne dans le Bible de Berger à grand coup de polynôme caractéristique d'un endomorphisme symétrique et autres matrices de Gramm.
J'ai trouvé aussi la démonstration dans le cours de G.Papelier, (~ 1920), utilisant astucieusement ce qu'on appelait à l'époque l'équation en S et qui n'est pas autre chose que le polynôme caractéristique de l'endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique définissant l'ellipsoïde. En fait c'est la même démonstration que Berger sans le jargon bourbakiste!
Par contre, la démonstration proposée par Deheuvels dans son cours d'Algèbre me chagrine un peu et me semble en contradiction, au moins pour ce qui concerne le deuxième théorème d'Apollonius en dimmension 3 avec le même théorème tel qu'il est énoncé dans les ouvrages précédents mais peut-être ai-je mal compris les notations de Deheuvels?
:S
Pappus