Théorie des cordes

Un tore de genre 0 ?:S

Par métrique plate tu entends métrique genre celle de Minkowski pour l'espace-temps (pas de courbure) ?

Je vois que vous ne connaissez pas les ficelles du métier.

Bonsoir,

Je ne suis pas spécialiste mais d'après ce que j'ai essayé de comprendrede la théorie des cordes l'hypothèse de nullité de la caractéristique d'Euler est inacceptable.

L'objectif de la théorie des cordes comme en théorie des champs est de calculer les coefficients de la "matrice d'intéraction"
$$
\langle \Psi_{in}| S | \Psi_{out} \rangle = \int_{\{x:\Sigma\to M\}} e^{iS(x)} d\mu
$$
Ici
- $x:\Sigma\to M$ désigne un plongement de $\Sigma$ (la surface d'univers, on y pense comme a la surface parcouru par notre corde lors entre des instants $t_1$ à $t_2$) dans un espace-temps $M$.
- $S$ est l'action: une fonctionelle dépendant de $x$ et d'autres paramètres
- $d\mu$ est une mesure sur l'espace des plongements $x:\Sigma\to M$ (c'est le plus difficile à définir mathématique car c'est un espace de dimension infinie).

Généralement $S$ est exprimé en fonction d'une métrique $\gamma$ sur la surface $\Sigma$ (i.e. $\gamma$ est l'un des paramètre $a_i$). Mais toute la théorie (pertubative?) est basée sur l'idée que $S(x,\gamma)$ ne dépend que de la classe conforme de $\gamma$, i.e.
$$
S(x,e^{\sigma}\gamma) = S(x,\gamma).
$$
pour $\sigma: X\to \RR$. L'exemple typique d'une telle action est
$$
S(x) = \int_\Sigma \|\nabla x\|^2 d\rm{vol}_\gamma
$$
C'est en quelque sorte, la mesure de la surface d'univers $x(\Sigma)$.


Le fait est que la donnée d'une classe conforme de métriques riemanienne sur une surface équivaut à la donnée d'une struture complexe. Ceci signifie qu'on est réduit d'une intégrale sur l'espace de dimension infinie des plongements $x:\Sigma \to M$ d'une surface de Riemann dans $M$ à une intégrale sur $M_{g,n}$ l'espace de module des surfaces de Riemann dont le bord est formée de $n$ cercles ($p+q = n$ foralisant $p$ cordes entrantes puis interaction puis $q$ cordes sortantes).

Ceci permet de réduire la théorie des cordes à la théorie des champs conforme en dimension 2. Cette dernière plutot bien comprise car la symétrie conforme est très puissante en dimension 2 (cf. le théorème d'uniformisation).

Les théorie des champs conforme correspondent alors (avec grosses approximations) aux foncteurs qui associent
- à un cercle (notre cordes) un espace $V$
- à un cobordisme $\coprod_p S^1 \to \coprod_q S^1$, i.e. une surface de Riemann orientée $\Sigma$ à bord $\partial \Sigma = \coprod_p S^1 \amalg \coprod_q S^1$.
Intuitivement, un cobodisme représente une intéraction entre $p$ cordes ($\Psi_{in}$) qui donne $q$ cordes à l'arrivée ($\Psi_{out}$).

La caractéristique d'Euler d'un tel cobordisme (indépendant de la métrique, qu'elle soit riemannienne ou pseudo-riemannienne) est $\chi(\Sigma) = 2g - 2 + (p+q)$ où $g$ est le genre de $\Sigma$.

Se restreindre à une caractérique d'Euler nulle exclurait donc du calcul des intéraction tout cas où $2g-2+p+q \neq 0$. Physiquement, c'est absurde: la propagation sans intéraction (correspondant à une courbe de genre $g=0$, $p=q=1$ i.e. un cylindre) d'une corde est exclue.


Il me semble que la théorie traite le cas $2g-2+n \geq 0$ d'un coté et les cas particuliers $(g,n) = (0,0), (0,1), (0,2), (1,0)$ à part. Géométriquement, ces cas correspondent aux cas où l'espace $M_{g,n}$ des surfaces de Riemann de genre $g$ à $n$ disques marqués n'est pas bien défini (ce n'est pas un orbifold ou champ de Deligne-Mumford).

Salut,

Pour afk, je pense que le sujet proposé par Marco n'est pas incompatible
avec ta remarque. Il faudrait avoir plus de detail sur le contexte dont
il a extrait ce "theoreme admis", mais tel que je comprend son post
il s'agit plutot d'un theoreme qui precise justement un certains nombre
de situations non physiques, dont le point commun est cette fameuse
caracteristique d'Euler nulle, non?

eric

Salut marco,

En theorie des cordes, les cordes remplacent les particules.
L'interet c'est que quand tu calcules la probabilité d'une interation
entre particules (par exemple 2 particules qui en donnent 2 autres
ou plus), la theorie classique fait intervenir des integrales
qui sont divergentes. On les rend convegentes de differentes facons, en
argumentant que la partie coupée correspond a des modes d'energie
infinis qui sont de toute facon inaccessibles a l'experience.
Cette technique impose d'ajouter dans le lagrangien initial des termes
qui compensent les morceaux qu'on a coupé, c'est la renormalisation.
Une alternative a ce modele c'est la theorie des cordes pour lesquelles
les integrales mentionnées avant deviennent convergentes (c'est
relié a la longueur finie de la corde), et on n'a plus besoin
de la renormalisation.
Maintenant comme on s'interesse a des interactions de cordes (fermée
en général), un processus physique d'interaction comporte des
particules entrantes et sortantes, dont l'evolution dans le temps
dessine des "cylindres". Donc si ton processus se représenta par un
tore, c'est comme si tu n'avais ni particule entrante ni particule sortante,
on peut donc l'assimiler a une "fluctuation du vide" comme on dit
en theorie des champs, et qui ne contribue donc pas aux processus
"physiques" auquels on s'interesse (sauf peut etre en gravité quantique
puisque la l'energie du vide est importante car intervient
dans les equations d'Einstein).

A+

eric