Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
134 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Similitude

Envoyé par trochoïde 
Similitude
il y a onze années
Bonjour.

J'ai quelques questions de géométrie auxquelles je ne sais pas répondre, si vous pouviez m'indiquer la procédure de raisonnement, je vous en serais reconnaissant.

On est dans un espace euclidien de dimension 3, et on me dit qu'une similitude $\sigma$, directe ou indirecte, de rapport $\lambda>0$ est la composée d'une homothétie de rapport $\lambda$et d'une isométrie.

Je dois d'abord montrer que si $\lambda\neq 1$, $\sigma$ a un unique point invariant O, son centre. Je mettrai les autres questions au fur et à mesure.

Merci.
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Bonjour.

Toute application affine dont la partie linéaire n'admet pas $1$ pour valeur propre possède un unique point fixe.

En effet, soit $f$ affine et $\vec f~$ sa partie linéaire, supposons que $1$ ne soit pas une valeur propre pour $\vec f~$, alors l'endomorphisme $\vec f - Id$ est injectif, donc surjectif, en raison de la dimension finie, et si $\vec u~$ est un vecteur, alors il existe $\vec v~$ tel que : $$\vec u = \vec f(\vec v) - \vec v~$$ Je te laisse achever.

Bruno
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Supposons que $f$ ait 2 points fixes $I$ et $J$.
On a $f(I)f(J)=\lambda\,IJ$ car $f$ est une similitude de rapport $\lambda$.
Or $f(I)=I$, $f(J)=J$ d'où $IJ=\lambda\,IJ$.
Et comme $\lambda\not=1$ il en résulte que $IJ=0$. Donc $I=J$.
Re: Similitude
il y a onze années
Bonjour, merci pour vos réponses.

Première question (certainement élémentaire): comment à partir de l'énoncé puis-je conclure que l'application linéaire associée à ma similitude n'admet pas 1 pour valeur propre?
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Je crains que cela ne prouve que l'unicité d'un éventuel point fixe, mais pas son existence.

Bruno
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Tu n'as pas par hasard l'impression que, si l'application linéaire associée a une valeur propre réelle, celle-ci a une relation avec le rapport k :D ?

Bruno
Re: Similitude
il y a onze années
Si $\lambda$ est une valeur propre réelle de $\vec f~$, alors il existe un vecteur non nul $v$ tel que

$\vec f~(v)=\lambda v$

Et ensuite?
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Tu n'as pas compris mon dernier message. Une similitude multiplie les distances par son rapport...

Bruno
Re: Similitude
il y a onze années
Si $\lambda$ est le rapport de la similitude $f$, alors c'est une valeur propre de $\vec f~$, c'est cela?

Puisque f est une similitude, $\|f(v)\|=\lambda\|v\|$ pour tout vecteur $v$.

Comment alors prouver que $\lambda$ est valeur propre de $\vec f~$?
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
\begin{quote}
Puisque f est une similitude, $ \Vert f(v)\Vert=\lambda\Vert v\Vert$ pour tout vecteur $ v$.
\end{quote}
Plutôt :$$\|\vec f(v)\| = |\lambda|\,\|v\|$$ mais le problème est de montrer que $1$ n'est {\bf pas} une valeur propre de $\vec f~$.

Donc je recommence :
\begin{itemize}
\item Quel rapport entre $d(A,B)$ et $\|\overrightarrow{AB}\|$ ?
\item Quel rapport entre $k$ et une éventuelle valeur propre de $\vec f~$ ?
\item Conclusion ?
\end{itemize}
Bruno
Re: Similitude
il y a onze années
Il me semble que :

$d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|$

$\lambda$ est une valeur propre de $\vec f~$

Désolé, mais le conclusion me reste obscure.
Peux-tu me détailler le raisonnement (si c'est possible de détailler plus...), s'il te plait ?
Re: Similitude
il y a onze années
Plus personne?

J'aimerais bien comprendre cette histoire, s'il vous plaît.
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Réfléchis ! Tu as tous les éléments

Bruno
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Et puis zut, puisqu'il faut te mâcher le travail et te mettre les points sur les "i" :

Si $\lambda$ est une valeur propre de $\overrightarrow{f}$, $\vec u$ un vecteur propre pour la vp et si $A$ est un point, alors posant $B = A + \vec u$, on a:$$\overrightarrow{f(A)f(B)} = \lambda\,\overrightarrow{AB}$$et comme $f(A)f(B) = k\,AB$ on en déduit:

\begin{center}\fbox{$|\lambda| = k$}\end{center}
Re: Similitude
il y a onze années
avatar
Effectivement je n'ai prouvé ci-dessus que l'unicité d'un point fixe. Et pour l'existence, on doit utiliser la surjectivité de $\vec{f}-\mathrm{id}$...
Re: Similitude
il y a onze années
D'accord. C'est donc le fait que la partie linéaire de f n'ait pas d'autre vecteur fixe que le vecteur nul qui entraine que f possède un et un seul point fixe, c'est ça?

Désolé de vous décevoir, Bruno. Je ne suis pas à l'aise du tout en géométrie.

Merci en tout cas de m'avoir aidé.

On note maintenant $\sigma=h\circ f=f\circ h$ notre similitude, avec f une isométrie fixant O, et h une homothétie de centre O et de rapport $\lambda$.

Soient $\sigma_+=f_+\circ h_+$ et $\sigma_-=f_-\circ h_-$ deux similitudes, respectivement directe et indirecte, de même rapport $\lambda$ et de centres $O_+$ et $O_-$ distincts.

Je dois montrer que $F={M,\sigma_+(M)=\sigma_-(M)}$ est un sous-espace affine. Et discuter la nature de $sigma_{-}^{-1}\circ\sigma_+$ selon que $F$ contient 0,1 ou plusieurs points.

Je pensais dire que $\sigma_+(M)=\sigma_-(M)$ ssi $\sigma_{-}^{-1}\circ\sigma_+(M)=M$. Comme ceci donne une similitude négative de rapport 1, c'est soit une symétrie orthogonale, soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissée orthogonale.Il me semble qu'à partir de là, on peut en déduire la réponse à la question, non?
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 727, Messages: 1 322 201, Utilisateurs: 24 181.
Notre dernier utilisateur inscrit khayem.


Ce forum
Discussions: 8 051, Messages: 92 189.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page