Similitude

trochoïde
trochoïde
dans Géométrie
Bonjour.

J'ai quelques questions de géométrie auxquelles je ne sais pas répondre, si vous pouviez m'indiquer la procédure de raisonnement, je vous en serais reconnaissant.

On est dans un espace euclidien de dimension 3, et on me dit qu'une similitude $\sigma$, directe ou indirecte, de rapport $\lambda>0$ est la composée d'une homothétie de rapport $\lambda$et d'une isométrie.

Je dois d'abord montrer que si $\lambda\neq 1$, $\sigma$ a un unique point invariant O, son centre. Je mettrai les autres questions au fur et à mesure.

Merci.

Réponses

  • Bruno
    Bruno
    Bonjour.

    Toute application affine dont la partie linéaire n'admet pas $1$ pour valeur propre possède un unique point fixe.

    En effet, soit $f$ affine et $\vec f~$ sa partie linéaire, supposons que $1$ ne soit pas une valeur propre pour $\vec f~$, alors l'endomorphisme $\vec f - Id$ est injectif, donc surjectif, en raison de la dimension finie, et si $\vec u~$ est un vecteur, alors il existe $\vec v~$ tel que : $$\vec u = \vec f(\vec v) - \vec v~$$ Je te laisse achever.

    Bruno
  • Archimède
    Archimède
    Supposons que $f$ ait 2 points fixes $I$ et $J$.
    On a $f(I)f(J)=\lambda\,IJ$ car $f$ est une similitude de rapport $\lambda$.
    Or $f(I)=I$, $f(J)=J$ d'où $IJ=\lambda\,IJ$.
    Et comme $\lambda\not=1$ il en résulte que $IJ=0$. Donc $I=J$.
  • trochoïde
    trochoïde
    Bonjour, merci pour vos réponses.

    Première question (certainement élémentaire): comment à partir de l'énoncé puis-je conclure que l'application linéaire associée à ma similitude n'admet pas 1 pour valeur propre?
  • Bruno
    Bruno
    Je crains que cela ne prouve que l'unicité d'un éventuel point fixe, mais pas son existence.

    Bruno
  • Bruno
    Bruno
    Tu n'as pas par hasard l'impression que, si l'application linéaire associée a une valeur propre réelle, celle-ci a une relation avec le rapport k :D ?

    Bruno
  • trochoïde
    trochoïde
    Si $\lambda$ est une valeur propre réelle de $\vec f~$, alors il existe un vecteur non nul $v$ tel que

    $\vec f~(v)=\lambda v$

    Et ensuite?
  • Bruno
    Bruno
    Tu n'as pas compris mon dernier message. Une similitude multiplie les distances par son rapport...

    Bruno
  • trochoïde
    trochoïde
    Si $\lambda$ est le rapport de la similitude $f$, alors c'est une valeur propre de $\vec f~$, c'est cela?

    Puisque f est une similitude, $\|f(v)\|=\lambda\|v\|$ pour tout vecteur $v$.

    Comment alors prouver que $\lambda$ est valeur propre de $\vec f~$?
  • Bruno
    Bruno
    \begin{quote}
    Puisque f est une similitude, $ \Vert f(v)\Vert=\lambda\Vert v\Vert$ pour tout vecteur $ v$.
    \end{quote}
    Plutôt :$$\|\vec f(v)\| = |\lambda|\,\|v\|$$ mais le problème est de montrer que $1$ n'est {\bf pas} une valeur propre de $\vec f~$.

    Donc je recommence :
    \begin{itemize}
    \item Quel rapport entre $d(A,B)$ et $\|\overrightarrow{AB}\|$ ?
    \item Quel rapport entre $k$ et une éventuelle valeur propre de $\vec f~$ ?
    \item Conclusion ?
    \end{itemize}
    Bruno
  • trochoïde
    trochoïde
    Il me semble que :

    $d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|$

    $\lambda$ est une valeur propre de $\vec f~$

    Désolé, mais le conclusion me reste obscure.
    Peux-tu me détailler le raisonnement (si c'est possible de détailler plus...), s'il te plait ?
  • trochoïde
    trochoïde
    Plus personne?

    J'aimerais bien comprendre cette histoire, s'il vous plaît.
  • Bruno
    Bruno
    Réfléchis ! Tu as tous les éléments

    Bruno
  • Bruno
    Bruno
    Et puis zut, puisqu'il faut te mâcher le travail et te mettre les points sur les "i" :

    Si $\lambda$ est une valeur propre de $\overrightarrow{f}$, $\vec u$ un vecteur propre pour la vp et si $A$ est un point, alors posant $B = A + \vec u$, on a:$$\overrightarrow{f(A)f(B)} = \lambda\,\overrightarrow{AB}$$et comme $f(A)f(B) = k\,AB$ on en déduit:

    \begin{center}\fbox{$|\lambda| = k$}\end{center}
  • Archimède
    Archimède
    Effectivement je n'ai prouvé ci-dessus que l'unicité d'un point fixe. Et pour l'existence, on doit utiliser la surjectivité de $\vec{f}-\mathrm{id}$...
  • trochoïde
    trochoïde
    D'accord. C'est donc le fait que la partie linéaire de f n'ait pas d'autre vecteur fixe que le vecteur nul qui entraine que f possède un et un seul point fixe, c'est ça?

    Désolé de vous décevoir, Bruno. Je ne suis pas à l'aise du tout en géométrie.

    Merci en tout cas de m'avoir aidé.

    On note maintenant $\sigma=h\circ f=f\circ h$ notre similitude, avec f une isométrie fixant O, et h une homothétie de centre O et de rapport $\lambda$.

    Soient $\sigma_+=f_+\circ h_+$ et $\sigma_-=f_-\circ h_-$ deux similitudes, respectivement directe et indirecte, de même rapport $\lambda$ et de centres $O_+$ et $O_-$ distincts.

    Je dois montrer que $F={M,\sigma_+(M)=\sigma_-(M)}$ est un sous-espace affine. Et discuter la nature de $sigma_{-}^{-1}\circ\sigma_+$ selon que $F$ contient 0,1 ou plusieurs points.

    Je pensais dire que $\sigma_+(M)=\sigma_-(M)$ ssi $\sigma_{-}^{-1}\circ\sigma_+(M)=M$. Comme ceci donne une similitude négative de rapport 1, c'est soit une symétrie orthogonale, soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissée orthogonale.Il me semble qu'à partir de là, on peut en déduire la réponse à la question, non?
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