Similitude
Bonjour.
J'ai quelques questions de géométrie auxquelles je ne sais pas répondre, si vous pouviez m'indiquer la procédure de raisonnement, je vous en serais reconnaissant.
On est dans un espace euclidien de dimension 3, et on me dit qu'une similitude $\sigma$, directe ou indirecte, de rapport $\lambda>0$ est la composée d'une homothétie de rapport $\lambda$et d'une isométrie.
Je dois d'abord montrer que si $\lambda\neq 1$, $\sigma$ a un unique point invariant O, son centre. Je mettrai les autres questions au fur et à mesure.
Merci.
J'ai quelques questions de géométrie auxquelles je ne sais pas répondre, si vous pouviez m'indiquer la procédure de raisonnement, je vous en serais reconnaissant.
On est dans un espace euclidien de dimension 3, et on me dit qu'une similitude $\sigma$, directe ou indirecte, de rapport $\lambda>0$ est la composée d'une homothétie de rapport $\lambda$et d'une isométrie.
Je dois d'abord montrer que si $\lambda\neq 1$, $\sigma$ a un unique point invariant O, son centre. Je mettrai les autres questions au fur et à mesure.
Merci.
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Réponses
Toute application affine dont la partie linéaire n'admet pas $1$ pour valeur propre possède un unique point fixe.
En effet, soit $f$ affine et $\vec f~$ sa partie linéaire, supposons que $1$ ne soit pas une valeur propre pour $\vec f~$, alors l'endomorphisme $\vec f - Id$ est injectif, donc surjectif, en raison de la dimension finie, et si $\vec u~$ est un vecteur, alors il existe $\vec v~$ tel que : $$\vec u = \vec f(\vec v) - \vec v~$$ Je te laisse achever.
Bruno
On a $f(I)f(J)=\lambda\,IJ$ car $f$ est une similitude de rapport $\lambda$.
Or $f(I)=I$, $f(J)=J$ d'où $IJ=\lambda\,IJ$.
Et comme $\lambda\not=1$ il en résulte que $IJ=0$. Donc $I=J$.
Première question (certainement élémentaire): comment à partir de l'énoncé puis-je conclure que l'application linéaire associée à ma similitude n'admet pas 1 pour valeur propre?
Bruno
Bruno
$\vec f~(v)=\lambda v$
Et ensuite?
Bruno
Puisque f est une similitude, $\|f(v)\|=\lambda\|v\|$ pour tout vecteur $v$.
Comment alors prouver que $\lambda$ est valeur propre de $\vec f~$?
Puisque f est une similitude, $ \Vert f(v)\Vert=\lambda\Vert v\Vert$ pour tout vecteur $ v$.
\end{quote}
Plutôt :$$\|\vec f(v)\| = |\lambda|\,\|v\|$$ mais le problème est de montrer que $1$ n'est {\bf pas} une valeur propre de $\vec f~$.
Donc je recommence :
\begin{itemize}
\item Quel rapport entre $d(A,B)$ et $\|\overrightarrow{AB}\|$ ?
\item Quel rapport entre $k$ et une éventuelle valeur propre de $\vec f~$ ?
\item Conclusion ?
\end{itemize}
Bruno
$d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|$
$\lambda$ est une valeur propre de $\vec f~$
Désolé, mais le conclusion me reste obscure.
Peux-tu me détailler le raisonnement (si c'est possible de détailler plus...), s'il te plait ?
J'aimerais bien comprendre cette histoire, s'il vous plaît.
Bruno
Si $\lambda$ est une valeur propre de $\overrightarrow{f}$, $\vec u$ un vecteur propre pour la vp et si $A$ est un point, alors posant $B = A + \vec u$, on a:$$\overrightarrow{f(A)f(B)} = \lambda\,\overrightarrow{AB}$$et comme $f(A)f(B) = k\,AB$ on en déduit:
\begin{center}\fbox{$|\lambda| = k$}\end{center}
Désolé de vous décevoir, Bruno. Je ne suis pas à l'aise du tout en géométrie.
Merci en tout cas de m'avoir aidé.
On note maintenant $\sigma=h\circ f=f\circ h$ notre similitude, avec f une isométrie fixant O, et h une homothétie de centre O et de rapport $\lambda$.
Soient $\sigma_+=f_+\circ h_+$ et $\sigma_-=f_-\circ h_-$ deux similitudes, respectivement directe et indirecte, de même rapport $\lambda$ et de centres $O_+$ et $O_-$ distincts.
Je dois montrer que $F={M,\sigma_+(M)=\sigma_-(M)}$ est un sous-espace affine. Et discuter la nature de $sigma_{-}^{-1}\circ\sigma_+$ selon que $F$ contient 0,1 ou plusieurs points.
Je pensais dire que $\sigma_+(M)=\sigma_-(M)$ ssi $\sigma_{-}^{-1}\circ\sigma_+(M)=M$. Comme ceci donne une similitude négative de rapport 1, c'est soit une symétrie orthogonale, soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissée orthogonale.Il me semble qu'à partir de là, on peut en déduire la réponse à la question, non?