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Cercles de Ford et suite de Farey

Envoyé par bs 
bs
Cercles de Ford et suite de Farey
il y a onze années
avatar
Bonsoir à tous,

Suite aux interventions de notre cher pappus, j'ai réouvert différents livres de géométrie, dont le Berger, et, l'esprit vagabond aidant, je me suis attardé sur l'exercice 10.13.29, que je n'avais encore jamais fait, intitulé Cercles de Ford, tout simplement.

C'est quoi au juste ? suivre à l'aide du dessin de wikipedia ci-dessous.

1) Au départ, on a les deux cercles rouges C1 et C'1, de rayon 1/2, tangents à l'axe Ox aux points d'abscisse 0 et 1, et tangents entre eux.

2) ensuite vient le cercle C2, orange, tangent à C1,C'1 et Ox en 1/2.

3) puis, C3 et C'3, jaunes, tangents chacun à un cercle rouge (pas celui de Melville) et à l'orange, et à Ox; alors les points de tangence avec l'axe sont 1/3 et 2/3.

4) rebelote avec les verts pâles en 1/4 et 3/4,

5) puis les verts foncés en 1/5, 2/5, 3/5, et 4/5.

[attachment 10584 cerclesFord.png]


Vous avez compris: tous les nombres rationnels compris entre 0 et 1 vont successivement apparaitre, mais pas n'importe comment ! en suivant la suite de Farey.

A l'aide de l'exercice de Berger, et de ces liens 1 et 2 , je pense avoir tout compris, néanmoins, l'article d' American Mathematical Monthly de 1938 où Ford décrit ses cercles pour la première fois m'intéresse beaucoup :) .

Cette propriété s'étend d'ailleurs à la dimension 3, les dessins sont "trop" jolis.

Un sympathique résultat alliant géométrie et théorie des nombres, que notre ami Olivier avait déjà signalé par ici.

Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.


Re: Cercles de Ford et suite de Farey
il y a onze années
Mon cher bs
Si tu le peux, essaye de te procurer l'article de Jeffrey C.Lagarias, Colin L.Mallows et Allan R.Wilks dont le titre est: Beyond the Descartes Circle Theorem, publié le 8 Janvier 2001, je ne sais plus dans quelle revue.
Amicalement
Pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par pappus.
Re: Cercles de Ford et suite de Farey
il y a onze années
Salut bs,
Regarde à tout hasard si le père Noël ne serait pas passé dans ta boîte aux lettres...
bs
Re: Cercles de Ford et suite de Farey
il y a onze années
avatar
Bonsoir,

Et qui a osé insinuer un jour que le père Noël était une ordure ?

Grand merci Aleg pour ces deux articles, dont celui mentionné par pappus...Merci à toi aussi pappus.

Sur ce, au dodo, et bonne nuit.
souad
Re: Cercles de Ford et suite de Farey
il y a onze années
salut
peux tu me passer ces deux articles,je suis bien intéressée par ce sujetthumbs down.et merci
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