Cercles de Ford et suite de Farey

Bonsoir à tous,

Suite aux interventions de notre cher pappus, j'ai réouvert différents livres de géométrie, dont le Berger, et, l'esprit vagabond aidant, je me suis attardé sur l'exercice 10.13.29, que je n'avais encore jamais fait, intitulé Cercles de Ford, tout simplement.

C'est quoi au juste ? suivre à l'aide du dessin de wikipedia ci-dessous.

1) Au départ, on a les deux cercles rouges C1 et C'1, de rayon 1/2, tangents à l'axe Ox aux points d'abscisse 0 et 1, et tangents entre eux.

2) ensuite vient le cercle C2, orange, tangent à C1,C'1 et Ox en 1/2.

3) puis, C3 et C'3, jaunes, tangents chacun à un cercle rouge (pas celui de Melville) et à l'orange, et à Ox; alors les points de tangence avec l'axe sont 1/3 et 2/3.

4) rebelote avec les verts pâles en 1/4 et 3/4,

5) puis les verts foncés en 1/5, 2/5, 3/5, et 4/5.

Vous avez compris: tous les nombres rationnels compris entre 0 et 1 vont successivement apparaitre, mais pas n'importe comment ! en suivant la suite de Farey.

A l'aide de l'exercice de Berger, et de ces liens 1 et 2 , je pense avoir tout compris, néanmoins, l'article d' American Mathematical Monthly de 1938 où Ford décrit ses cercles pour la première fois m'intéresse beaucoup .

Cette propriété s'étend d'ailleurs à la dimension 3, les dessins sont "trop" jolis.

Un sympathique résultat alliant géométrie et théorie des nombres, que notre ami Olivier avait déjà signalé par ici.

Amicalement.