nouvelle approche du cercle de Fuhrmann

Bonjour,

Je note $W$ le centre du cercle d'Euler. On a $w=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$, puis $WI=\frac{R}{2}-r$ et $WI_A=\frac{R}{2}+r_A$, d'où le théorème de Feuerbach.

Reste à déterminer l'affixe du point de tangence $F$ entre le cercle inscrit et le cercle d'Euler. J'élimine le cas du triangle équilatéral. Je cherche $\lambda>0$ tel que $\overrightarrow{NF}=\lambda \overrightarrow{NI}$ avec la contrainte $||\lambda \overrightarrow{NI}||=\frac{1}{2}$, d'où $\overrightarrow{NF}=\frac{(a+b+c)^2}{2|a+b+c|^2}$
puis
$\overrightarrow{OF}=f=\frac{2abc(a+b+c)+ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+bc(b^2+c^2)}{2(ab+ac+bc)}$
qui ne prend pas une forme plus sympathique.

Amicalement,
Gilles

Bel effort! Gilles!
J'ai la flemme de vérifier.
En tout cas, tu as obtenu pour affixe une fraction symétrique élément de $\mathbb Q(a, b, c)$.
Dans le cas contraire, tu te serais trompé dans tes calculs.
Merry Xmas
Pappus
PS


<img src="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?8,file=14241,in_body_attachment=1" align="top" onload="in_body_attachments_resizeimage(this)" alt="FeuerbachPoint.gif" title="FeuerbachPoint.gif">

Voici une figure sur laquelle on peut se casser les dents.
Le triangle $A'B'C'$ est homothétique du triangle $ABC$ dans l'homothétie de centre $I$ et de rapport $\dfrac 1 2$.
Le triangle $a'b'c'$ est symétrique du triangle des contacts $abc$ par rapport à $I$.

Alors les triangles $A'B'C'$ et $a'b'c'$ sont homologiques, le centre d'homologie étant le point de Feuerbach $\omega$, ce qui veut dire que les droites $A'a'$, $B'b'$, $C'c'$ concourent en $\omega$.
Cerise sur le gâteau, ces deux triangles sont de plus orthologiques et on peut donc appliquer le théorème de Sondat, (pour ceux qui le connaissent).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par pappus.

Bonjour,
voici une contribution à cette discussion sur le cercle de Fuhrmann :
<a href="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?8,file=14338,filename=pldx1-fuhrmann-02.pdf">pldx1-fuhrmann-02.pdf</a>

(1) Les calculs en barycentriques sont détaillés. En particulier, la méthode pour calculer une courbe ou un centre relatifs à un triangle différent du triangle de référence.

(2) Les calculs de la représentation de Morley sont repris. En particulier une méthode est décrite pour obtenir la fraction rationnelle en $\alpha, \beta, \gamma$ décrivant un centre dont les coordonnées barycentriques sont rationnelles en $a,b,c,R$

(3) Les résultats relatifs aux centres exinscrits sont reliés à la transformation continue de Lemoine.

(4) Le résultat de Fuhrmann est généralisé en un théorème de Fuhrkind :
Théorème 4.1. Soit $P$ un point non situé sur le cercle circonscrit $\Gamma$ au triangle $ABC$. La droite $AP$ recoupe le cercle en un point $A'$. On prend le symétrique $A"$ de $A'$ par rapport à $BC$ et de même $B",C"$ et on appelle cercle de Fuhrkind associé au point $P$ le cercle circonscrit au triangle $A"B"C"$. Alors ce cercle admet pour diamètre le segment $\left[H,\, FK\left(P\right)\right]$ où le point $H$ est X(4), l'orthocentre de $ABC$, et le point $FK\left(P\right)$ est l'anticomplément de l'isogonal de $P$, autrement dit :
$$FK\left(P\right)\simeq\left(\begin{array}{c}
pqc^{2}+rpb^{2}-qra^{2}\\
qra^{2}+pqc^{2}-rpb^{2}\\
rpb^{2}+qra^{2}-pqc^{2}\end{array}\right)
$$

(5) Le résultat supplémentaire de JL Ayme se généralise lui aussi.


<img src="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?8,file=14339,in_body_attachment=1" align="top" onload="in_body_attachments_resizeimage(this)" alt="Fuhrkind-2.png" title="Fuhrkind-2.png">

Cordialement,
Pierre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par pldx1.