Triangles isométriques et angle
dans Géométrie
Bonjour à tous (toutes) et bonne année.
"Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés
respectivement de même longueur, alors ces deux triangles sont isométriques."
Comment démontrer ce théorème (sans trigo ni Pythagore)?
Merci de votre aide.
A+
Emmanuel
"Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés
respectivement de même longueur, alors ces deux triangles sont isométriques."
Comment démontrer ce théorème (sans trigo ni Pythagore)?
Merci de votre aide.
A+
Emmanuel
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si je me souviens des méthodes antiques, il me semble qu'on part de la définition:
Deux triangles isométriques sont ou superposables ou superposables à une symétrie près.
Ensuite à la règle et au compas on reporte les valeurs d'une figure sur l'autre.
Le premier segment, l'angle, puis le deuxième segment.
L'unicité des points construits permet de conclure.
Malheureusement, j'avoue humblement avoir du mal à mettre tout cela en forme et surtout à préciser d'abord quelles sont les hypothèses admises e.g. comment est définie la symétrie, pour ne pas tourner en rond.
Mais notre ami Pappus doit avoir quelques bonnes idées sur le sujet dans son sac.
Donc je ne vais rien dire d'intéressant et dire que c'est une conséquence de la formule d'Al-Kashi. (Mais Emmanuel va me rétorquer que l'on voit la propriété en seconde, et je lui dirai que l'on bien d'autre propriétés au collège qui ne sont pas non plus démontrées et qui sont non triviales.)
merci de ta réponse ; ça voudrait dire qu'il n'est pas possible de démontrer ce théorème uniquement avec des outils enseignés au collège?
pour Braun : je ne comprends pas bien ta réponse... :-(
A+
Emmanuel
Content de te lire Emmanuel, d'autant que tu me remémores une partie de ma jeunesse studieuse
Je me souviens qu'en classe de 5ème, 4ème et/ou 3ème, le professeur démontrait ce théorème, et ses petits frères, par transport de l'un des triangles à l'aide de papier transparent et superposition sur l'autre pour constater qu'ils étaient égaux. J'ignore en quelle année ces démonstrations un tant soit peu érotiques ont été abolies dans les programmes.
Amicalement.
Voir par exemple la Bible du bon Berger, tome 2, pages 108 et 157.
Amicalement
Pappus (brrrr....!).
Que pensez-vous de cela, c'est la méthode du père Euclide mis à la sauce actuelle :
Soit $ABC$ et $A'B'C'$ les deux triangles vérifiant $\widehat {A'} = \widehat A$, $A'B' = AB$ et $A'C' = AC$ ; on transforme $A'B'C'$ en $AB''C''$ par la symétrie $s_1$ dont l'axe est la médiatrice de $A'$ et $A$.
Puisque $A'B' = AB$, on obtient $AB = AB''$ et l'on compose $s_1$ par $s_2$ symétrie par rapport à la médiatrice de $B$ et $B''$ ; comme le point $A$ est équidistant de $B$ et $B''$ il appartient à l'axe de $s_2$ et est invariant par cette symétrie. On obtient ainsi un triangle $ABC'''$ et, par conservation des angles on a :$$\widehat{BAC'''} = \widehat{BAC}$$ les points $C'''$ et $C$ sont donc confondus ou symétriques par rapport à $(AB)$ ; il s'ensuit que si $s_3$ est la symétrie par rapport à $(AB)$, soit $s_2 \circ S_1$ transforme $A'B'C'$ en $ABC$, dans le cas où $C''' = C$ soit $s_3 \circ s_2 \circ s_1$ réalise cette transformation.
On a donc bien une isométrie du plan qui transforme le premier triangle en le second.
Bruno
C'est beau, mais il me reste toujours la petite question métaphysique: "N'utilise-t-on pas les cas d'isométrie des triangles pour établir que la symétrie conserve les angles?"
Cordialement.
Plus sérieusement : qu'est-ce que des angles égaux ? Au niveau ?? Deux couples de vecteurs unitaires $(\vec u,\vec v)$ et $(\vec w,\vec x)$ ont le même angle {\it géométrique} si, et seulement si $(\vec u \mid \vec v) = (\vec w \mid \vec x)$ ; comme les automorphismes orthogonaux conservent le produit scalaire, ils conservent les angles.
Ceci n'est pas démontrable au niveau du collège mais ({\it bis repetita}) {\bf qu'est-ce que des angles égaux} au niveau du collège.
Seconde C et Moderne, Cagnac et Thiberge, Masson - 1950 (page 14): "Deux angles sont égaux s'ils sont superposables".
En quelle année, est-on passé à une autre définition moins rigolote ?
Amicalement.
Bruno
Merci Bruno, nous allons finir par savoir à quand remonte le changement de définition dans les programmes. Ces professeurs de mathématiques qui venaient avec leur grand papier transparent pour effectuer leur tour de passe-passe de superposition, ça reste un grand moment de ma vie d'élève.
Classe de Seconde des Lycées et Collèges - Géométrie Plane (p14) - Lebossé§Hémery - Fernand Nathan -1951 -
"Angles égaux: ce sont des angles superposables."
Amicalement.
Cordialement.
merci je m'appelle abgal je suis Djiboutienne tu habites suisse lucens je veux des gens qui peux m'aide comment on trouve un 2 couples de côtés perpendiculaires
Réponde moi s'il vous plait -D
-- Schnoebelen, Philippe