"Difficile, pour lecteurs obstinés"

Bonjour Bernard,

en LaTeX : $\overline{E}$ pour "$E$ avec la barre au dessus".

Bonsoir bs,
Est-ce qu'une solution informatique est acceptée ?
Si j'ai bien compris, $E=F_2^3$. Exact ?
Si oui, on peut énumérer bestialement, donc on peut demander à la machine de le faire.

Cordialement,
zephir.

P.S. Que vient faire un exercice d'algèbre sur le fil "Géométrie" ?;)

Si le maitre le dit alors je m'incline. On va donc en faire dans $F_2^3$ pour changer.
Le groupe des isométries affines est, sauf erreur de cardinal 56. il est égal au nombre de quadruplet affinement libre de E. J'en compte 56 est je suis embêté car 56 n'est pas divisible par 3 ! où est l'erreur ?

Le cardinal du groupe affine n'est pas égal au nombre de quadruplet libre. En effet le vecteur de transation de l'origine n'est pas forcément libre par rapport aux autres.
Je crois qu'il y a $8 \times (8-1) \times (8 -2) \times (8-4)$ éléments dans le groupe affine.

Amicalement.

Je confirme. C'est le nombre de quadruplet ordonnée de points non coplanaires, donc le nombre de bijections affines est de $56*4!=1344=2^6.3.7$.

J'ai trouvé 8 groupes d'ordre 21, en passant dans $\mathbb{F}_8$.
Pour chaque point, on peut considérer ce point comme l'origine, le zéro.
Les éléments du groupe sont alors les $x \mapsto ax^{2^k}$ avec $a \in \mathbb{F}_8$ différent de $0$ et $k=0,1,2$.

Un groupe d'ordre 21 agissant sur un ensemble à 8 éléments laisse au moins un point stable. En effet les orbites de chaque point sont de cardinal $1,3$ ou $7$.

Oui, il me semble, ce sont des automorphismes de Frobenius, multipliés par une constante non nulle, donc bijectifs. $0$ est un point fixe, donc on le prend comme origine.
Ils préservent l'addition. Et aussi la multiplication par un scalaire, vu que l'on est dans un $\mathbb{F}_2$-espace vectoriel, donc les seuls scalaires sont $0$ et $1$, or $f(0.x)=f(0)=0=0.f(x)$ et $f(1.x)=f(x)=1.f(x)$

marco : OK pour la linéarité, merci d'avoir pris le temps de l'expliquer.

Bu : Ahem.. j'aurais mieux fait de me taire. En revanche un groupe d'ordre 21 contient toujours un élément d'ordre 3 et un élément d'ordre 7, ça j'en suis à peu près sûr. Pour l'injectivité du plongement dans le groupe linéaire, je suppose que c'est parce que 21 est premier avec le cardinal du noyau (8) ?

Egoroff> Par contre il me semble qu'il est produit semi direct de $Z_7$ par $Z_3$. Le groupe des automorphismes de $Z_7$ est cyclique d'ordre 6 engendré par $x \mapsto x^3$. Il n'y a que 2 morphismes non triviaux de $Z_3$ la dedans, et ils donnent des structures de groupe isomorphes. Donc il faut chercher des elements $a$ d'ordre 7 et $b$ d'ordre 3 avec $bab^{-1}=a^2$ ou $bab^{-1}=a^4$, suivant sur lequel des elements non neutre de $Z_3$ on tombe

Je ne sais pas si ca aide...

J'ai écrit beaucoup d'erreurs. Il n'est pas prouvé que un cycle du stabilisateur forme une base. D'ailleurs c'est peut-être faux.

Bonjour,

L'énoncé rapporté par bs me perturbe.

J'ai commencé par regarder les éléments d'ordre 7 de $GL_3(\mathbb{F}_2)$. Il y en a 48 au total répartis en deux classes de conjugaison selon que leur polynôme caractéristique (et en même temps minimal) est $X^3+X+1$ ou $X^3+ X^2+1$ (les deux facteurs irréductibles du polynôme cyclotomique $\Phi_7$ sur $\mathbb{F}_2$).

Ces éléments d'ordre 7 peuvent être vus comme des cycles de longueur 7 sur le plan projectif sur $\mathbb{F}_2$ ($GL_3(\mathbb{F}_2)$ est le groupe des homographies de ce plan). Ils forment 8 sous-groupes cycliques de $GL_3(\mathbb{F}_2)$.

Chacun de ces sous-groupes d'ordre 7 est contenu dans un sous-groupe d'ordre 21 de $GL_3(\mathbb{F}_2)$, lequel sous-groupe est effectivement un produit semi-direct $\mathbb{Z}/7\rtimes \mathbb{Z}/3$. Les 14 autres éléments sont d'ordre 3; si on fixe un élément $a$ d'ordre 7, il y en a 7 qui conjuguent $a$ à $a^2$, et 7 qui conjuguent $a$ à $a^4$. Ceci fait donc 8 sous-groupe d'ordre 21 de $GL_3(\mathbb{F}_2)$.

On peut ensuite remonter au groupe affine par chacune des huit sections du morphisme du groupe affine de $(\mathbb{F}_2)^3$ sur $GL_3(\mathbb{F}_2)$ correspondant au choix d'une origine. On se retrouve donc avec 64 sous-groupes d'ordre 21 du groupe affine!

Je me suis sans doute fourvoyé quelque part, mais où?

J'avoue ne pas comprendre cette partie de l'énoncé rapporté par bs :
"un ensemble $ E^{*}$ sur lequel l'opération de $ GL(\overline{E})$ définit une structure d'espace affine de dimension $ 3$ sur $ F_2$."
D'après ce que j'ai vu, $\overline{E}$ est l'espace vectoriel associé à l'espace affine.
Comment une structure d'espace affine peut-elle être définie par l'action d'un groupe linéaire?

N'importe quel ensemble à 8 éléments peut être muni d'une structure d'espace affine de dimension 3 sur $\mathbb{F}_2$. Ce que je ne vois pas bien, c'est une façon "canonique" de définir une action de $(\mathbb{F}_2)^3$ sur l'ensemble des sous-groupes d'ordre 21 (ou d'ordre 7) de $GL_3(\mathbb{F}_2)$.

Farpaitement.

Merci à Bu pour la confirmation.

Voilà un lien qui devrait intéresser du monde ici : http://www.scielo.cl/pdf/proy/v24n3/art01-old.pdf
Je n'ai pas encore tout compris (je ne suis pas sûr que ça arrive d'ailleurs) mais ill me semble que ça rejoint les contributions de Bu et de marco.

Explication : toute bijection $\varphi \, : \, E \to \mathbb{F}_2^3$ permet de "tirer en arrière" la srructure de $\mathbb{F}_2$-espace affine (en posant $\overrightarrow{ef}:=\overrightarrow{\varphi(e)\varphi(f)}$), et deux bijections $\varphi,\psi$ définissent la même structure si et seulement $\varphi^{-1} \circ \psi$ est un automorphisme affine de $\mathbb{F}_2^3$.

Soit $q$ une puissance de $p$, et $E$ un ensemble à $q^d$ éléments. On veut compter le nombre de structures de $\mathbb{F}_q$-espace affine sur qu'on peut mettre $E$.
Fixe un point $a\in E$.
1°) Une structure affine sur $E$, c'est kif-kif une structure d'espace vectoriel sur $E$ avec $a$ comme vecteur nul.
2°) Toute bijection de $E\setminus \{a\}$ sur $(\mathbb{F}_q)^d\setminus \{0\}$ permet par transport de structure de munir $E$ d'une structure de $\mathbb{F}_q$-espace vectoriel avec $a$ comme vecteur nul.
3°) Toute structure de $\mathbb{F}_q$-espace vectoriel sur $E$ avec $a$ comme vecteur nul peut s'obtenir ainsi.
4°) Deux bijections $\phi,\psi : E\setminus \{a\} \to (\mathbb{F}_q)^d\setminus \{0\}$ définissent la même structure d'espace vectoriel si et seulement si $\psi\circ\phi^{-1}$ (prolongé en envoyant $0$ sur $0$) est dans le groupe linéaire de $(\mathbb{F}_q)^d$.
5°) Par le principe des bergers, le nombre de structures de $\mathbb{F}_q$-espace affine qu'on peut mettre sur $E$ est égal au nombre de bijections de $E\setminus \{a\}$ sur $(\mathbb{F}_q)^d\setminus \{0\}$ divisé par le cardinal du groupe linéaire de $(\mathbb{F}_q)^d$.

Bonjour. Nouveau venu sur ce forum, voici une référence pour cette question. On peut taper sur Google "une propriété du groupe à 168 éléments" et on trouve la solution sur un document PDF. Amicalement à toutes et tous. Bouleville