Quotient par les homothéties-translations
dans Géométrie
Je crois que c'est mon premier post en géométrie.
Une amie m'a posé la question suivante :
Je l'ai envoyé bouler en lui disant que je n'en avais évidemment aucune idée puisque je pense que la géométrie c'est moche et que j'aime pas, mais en vrai, ça me travaille un peu.
Toute remarque qui pourrait me mettre sur la voie serait appréciée. Allez, c'est bon, j'avoue, la géométrie c'est pas si moche.
Une amie m'a posé la question suivante :
Le groupe des homothéties-translations est un sous-groupe distingué du groupe affine. Est ce qu'on sait à quoi ressemble le groupe quotient ?
Je l'ai envoyé bouler en lui disant que je n'en avais évidemment aucune idée puisque je pense que la géométrie c'est moche et que j'aime pas, mais en vrai, ça me travaille un peu.
Toute remarque qui pourrait me mettre sur la voie serait appréciée. Allez, c'est bon, j'avoue, la géométrie c'est pas si moche.
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Réponses
Je dirais le groupe des matrices de déterminant $1$ en dimension impaire,
et de déterminant $1$ ou $-1$ en dimension paire.
En gros ca donne les rotations, les operateurs lineaires diagonalisables avec pour valeurs propres $a$ et $a^{-1}$
et les symetries qui ne coincident pas avec des rotations en dimension paire.
A+
eric
Bon je n'ai pas encore trouvé en quelle langue c'etait mais je vais bien finir par trouver ..
;-)
A+
eric
pldx1 > le sous-groupe des translations ne me semble pas distingué dans le groupe affine...
Si $y = Mx+t$ avec $M$ application lineaire inversible
alors $y = M( x+ M^{-1}t) $ donc on peut soit appliquer $M$
puis translater de $t$ soit translater de $M^{-1}t$ et ensuite appliquer $M$ , donc ....
a+
eric
$$\mathrm{GA}(E) \longrightarrow \mathrm{GL}(\vec{E})$$
Le groupe des homothéties-translations est l'image réciproque du sous-groupe distingué $K^*\,\mathrm{id}_E$. Il est donc distingué et de plus
$$\mathrm{GA}(E)/\mathrm{HT}(E) \approx \mathrm{GL}(\vec{E})/K^*\,\mathrm{id}_E = \mathrm{PGL}(E)$$
C'est gentil de me chercher des excuses, mais je crois vraiment que dès que je vois le mot "géométrie", je fais un court-circuit cérébral sur le premier énoncé venu (:D