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Cercles inscrit et circonscrit

Envoyé par Sylvain 
Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
avatar
Bonjour,

je viens de m'apercevoir que dans le cas du triangle équilatéral, le rapport $\dfrac{r}{R}$ vaut $\dfrac{1}{2}$, avec $r$ le rayon du cercle inscrit et $R$ celui du cercle circonscrit. Question : existe-t-il des triangles "vrais" (c'est-à-dire dont aucun angle n'est nul) pour lesquels ce rapport est strictement inférieur à $\dfrac{1}{2}$ ?

Merci d'avance.
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
Bonjour sylvain,

Oui bien sûr. Le rapport peut être rendu aussi petit que l'on veut. Balade trois points sur un cercle fixe.

La question pertinente serait plutôt. Est-ce que ce rapport peut être rendu strictement supérieur à $\dfrac 1 2$ ?

Cordialement,
zephir.
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
avatar
En effet, je me suis trompé entre "inférieur" et "supérieur", mea culpa...
bs
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
avatar
Bonjour,


Toujours notre incontournable Leonhard avec une de ses relations dans le triangle:
$$OI^2 =R^2 - 2Rr$$

Amicalement.
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
avatar
Merci bien bs.
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
On a le rapport $1/2$ entre le rayon du cercle circonscrit et celui du cercle des neuf points. Le cercle inscrit se trouvant à l'intérieur de ce dernier, le rapport des rayons n'est égal à $1/2$ que lorsque les cercles inscrits et des neuf points sont confondus, donc dans le cas du triangle équilatéral. Si le triangle n'est pas équilatéral, ce rapport est strictement inférieur à $1/2$.
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
Citation
Eric
Le cercle inscrit se trouvant à l'intérieur de ce dernier...

Comment prouver ce résultat ?
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
avatar
Le triangle est coincé entre les deux.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
Pour jpdx

Le cercle inscrit est tangent intérieurement au cercle des neuf points, c'est le théorème de Feuerbach (voir par exemple quelque part dans cette discussion du forum [www.les-mathematiques.net]).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Eric.
Re: Cercles inscrit et circonscrit
il y a quatre années
Merci pour la réponse.
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