représentation géométrique d'un tenseur

Bonjour,

je croyais qu'un tenseur était une forme multilinéaire sur les vecteurs et covecteurs d'un espace vectoriel $E$, ce n'est pas le cas ?

Si Sylvain. j'espere ne pas faire de hors sujet vu que je suis plus habitué a la vision algebrique du produit tensoriel, mais souviens toi que si $A,B$ sont deux espace vectoriels de dimension finie $L(A,B) \cong A^* \otimes B$. En particulier, un 2-tenseur d'ordre (1,1) (je crois qu'on dit comme ca) s'identifie a une application linéaire de E dans lui meme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par jobherzt.

Et ce n'est pas contradictoire avec le fait qu'un élément de $E\otimes E^*$ est aussi une forme bilinéaire sur $E\times E^*$ : $(x\otimes \ell)(x',\ell')=\langle \ell,x'\rangle\langle \ell',x\rangle$.

Oui, si tu as une appli lineaire $f$ de $A$ dans $B$, tu retrouves le 2 tenseur

$$\sum_i e_i^* \otimes f(e_i) \in A^* \otimes B$$

ou $e_i$ et $e_i^*$ sont des bases duales de $A$ et $A^*$.

Attention ensuite, sauf etourderie de ma part, un element de $A^* \otimes B$ n'est pas naturellement une application bilinéaire de $A^*\times B$ dans $k$, j'allais dire "au contraire". La propriété du produit tensoriel, c'est que toute application bilineaire de ce type, s'identifie a une {\bf forme lineaire sur} (et non à un élément de) $A^*\otimes B$. Donc une application linéaire de $A$ dans $B$ s'identifie plutot a une forme lineaire sur $B^* \otimes A$ via, sauf erreur, l'application transposé $f^*$ qui va de $B^*$ dans $A^*$, ce qui donne un sens à
$$(x,y)\in B^* \times A \longmapsto \langle f(x),y \rangle \in k $$

En esperant ne pas avoir dit de betises, on s'y perd facilement..



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par jobherzt.

Tu as raison que le produit tensoriel sert à factoriser les formes bilinéaires, mais on a aussi une interprétation des éléments de $A\otimes B$ comme des formes bilinéaires sur $B^*\times A^*$ par
$$\Bigl(\sum a_i\otimes b_i\Bigr)(\beta,\alpha)=\sum\langle\alpha,a_i\rangle\langle \beta,b_i\rangle.$$

Je pense que c'est à cela que Sylvain faisait allusion en disant qu'un tenseur est « une forme multilinéaire sur les vecteurs et covecteurs ».

* Edit : un doute soudain m'assaille sur la validité de la formule que j'ai écrite plus haut... je me demande si je ne me suis pas emmêlé les pinceaux et je n'ai pas le temps de creuser... damned.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par remarque.

Remarque> Notes que c'est exactement ce que je dis un element de $A \otimes B$ n'est pas une forme bilineaire sur $A \times B$, mais bien sur $A^* \otimes B^*$ !!

mais ta formule me semble valide, elle n'est pas contradictiore avec la mienne puisque moi je partais d'une application lineaire de $A$ dans $B$, pour construire une application bilineaire de $B^* \times A$ dans $k$, qui va effectivement s'identifier a un element de $A^* \otimes B=(B^* \otimes A)^*$.

Donc j'avais bien compris ce que Sylvain voulait dire, mais j'ai, sauf erreur, rectifié. j'espere que c'est plus clair, je suis a la bourre donc j'ecris vite.