Couper un segment en trois

Couper un segment en trois en utilisant seulement un compas et une règle non graduée.

Il existe un tas de méthodes je vous propose celle qui a ma faveur du moment:


Soit [AB] le segment qu'on veut partager en trois.
1) On choisit un point C qui n'est pas sur la droite (AB)
2) on trace la demi-droite [AC), au compas on construit le point D qui est sur [AC) et qui est à distance AC de C (mais qui n'est pas à A)
3) On trace la demi-droite [DB) et on construit au compas le point E qui est à distance DB de B (mais qui n'est pas D)
4) la droite (CE) coupe [AB] en F et [FB] a pour mesure un tiers de la longueur de [AB].

En espérant ne pas avoir (écrit) trop d'âneries.

Oui , F est le centre de gravité du triangle ADE de médiane [AB] .

Domi

On peut aussi utiliser Thalès, puisqu'on sait construire des parallèles et des perpendiculaires.

En gros: on construit un repère orthonormé d'origine A, d'unité AB, on construit $y=3x$ en construisant le point $(1,3)$, on mène la parallèle (AB) passant par $(1,0)$ pour obtenir le point $(1,1/3)$, puis la perpendiculaire à (AB) passant par ce point pour obtenir $(1/3,0)$.

Pourquoi un repère ? Ça me tue :)

Les points C' et D' sont construits par symétries centrales successives, d'après le théorème de Thalès, M est au tiers à partir de A du segment [AB]. Il est clair que cette construction est valable pour n'importe quel entier (avec une feuille infinie .)

[attachment 18879 Clipboard01.gif]

Bruno

@ GreginGre ,
"un repère orthonormé", tu exagères, ne serais tu pas une taupe des RG dans le Phorum ?

GreginGre:

Je voulais éviter toute construction du milieu d'un segment par la méthode classique (construction de la médiatrice du segment).

Je réfléchis à la manière de construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné extérieur à cette droite sans construire de milieu de segment.

Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés égaux, alors c'est un parallélogramme.

Citation
Fin de Partie

Je voulais éviter toute construction du milieu d'un segment par la méthode classique (construction de la médiatrice du segment).

Ah oui, mais c'est pas de jeu si tu n'expliques pas toutes les règles !

Pour les autre, j'ai fait appel à un repère orthonormé parce que j'avais en tête le problème des nombres constructibles à la règle et au compas d'une part, et d'autre part parce que ça me donnait un moyen commode d'expliquer ma construction.

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)

Citation
Ah oui, mais c'est pas de jeu si tu n'expliques pas toutes les règles !

Cela me semblait évident, dans le sens que couper un segment peut être considéré comme une application immédiate du théorème de Thalès mais alors se pose le problème de construction de parallèles (résolu par la construction habituelle du milieu d'un segment) que j'ai évitée en n'utilisant pas (directement) le théorème de Thalès.
PS:
Vous aurez compris que j'aime (parfois) me couper les cheveux en quatre

[Mais non, c'est le segment qu'il faut couper en trois ! :D AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par AD.

Je pense que j'ai trouvé la construction que je cherchais c'est une variante de celle que j'ai proposée plus haut.

Soit une droite (d) et un point A extérieur à cette droite.
On veut construire la parallèle à (d) qui passe par A.

1) On choisit deux points B,C sur (d).
2) on place sur (d), avec le compas, un troisième point D à distance BC de C mais qui n'est pas B.
3) On trace la demi-droite [BA)
4) On construit le point E sur [BA) qui est à distance AB de A mais qui n'est pas B.
5) On Construit les segments [AD] , [CE] ,[ED]
6) Les segments [EC] et [AD] se coupent en F.
7) On construit la demi-droite [BF) elle coupe [ED] en G.
8) (AG) est parallèle à (d)

En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'âneries.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Fin de partie.

Bonjour,

OK.
Mais cette construction de la parallèle à BC fonctionne pour tout point E de la droite AB , pas forcément
avec AB = AE.

[attachment 18884 parallel.gif]

Et puis pour en revenir au thème initial, on peut poursuivre avec la construction de N au tiers de BC :
Soit M l'intersection de AC et BG
EM coupe (d) en N, et on a NC = BC/3.

Amicalement.

Bonjour,

On redécouvre de vieilles lunes !

David Hilbert, dans ses "Grundlagen der Geometrie", se pose le problème des constructions possibles à l'aide d'une règle et d'un instrument (qu'il appelle "Eichmass") qui permet de reporter une unité de longueur. La première construction qu'il donne est celle d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.

[attachment 18885 Capture.png]

L'ouvrage de Hilbert est disponible en ligne ici. L'étude des constructions à la règle et à l'instrument à reporter une unité de longueur débute à la section 36, page 73.

J'ai juste oublié le lien sur "Grundlagen der geometrie".

Citation
se pose le problème des constructions possibles à l'aide d'une règle et d'un instrument (qu'il appelle "Eichmass")

C'est tout à fait à quoi je pensais.


Je savais que Hilbert s'était intéressé à ces problèmes mais je n'avais jamais parcouru son oeuvre sur ce sujet.
(je possède seulement la réédition de sa théorie algébrique des nombres)

Merci Meu pour ces précisions.

La règle et l'étalon (= Eichmass) ne permettent pas de faire toutes les constructions possibles à la règle et au compas. Par exemple $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ est constructible à la règle et à l'étalon, mais $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ ne l'est pas.

Les règles de construction de Hilbert sont plus restrictives que celles que je veux me donner.
Elles n'autorisent pas de reproduire la longueur qu'on veut.

Construction du milieu d'un segment.
Soit [AB] un segment on veut construire son milieu.

1) On trace un point C extérieur à la droite (AB)
2) On Construit les demi-droites [AC) et [BC).
3) Sur la demi-droite [AC) on place le point D de telle manière que C soit le milieu de [AD]
4) Sur la demi-droite [BC) on place le point E de telle manière que C soit le milieu de [BE]
5) On trace la demi-droite [EA) et on place le point F de telle manière que A soit le milieu de [EF]
6) On trace le segment [FD], il coupe [AB] en G qui est le milieu de [AB]

En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'âneries.

Citation

Les règles de construction de Hilbert sont plus restrictives que celles que je veux me donner.
Elles n'autorisent pas de reproduire la longueur qu'on veut.

C'est une illusion. Avec les outils de Hilbert, tu peux reproduire une longueur donnée quelconque. Du moment que tu as l'étalon et que tu sais que tu peux tracer des parallèles, avec Thalès ça baigne.

Si tes outils sont la règle et un instrument pour reporter les longueurs, tu fais exactement les mêmes choses que Hilbert avec sa règle et son étalon. Sérieusement, tu devrais lire Hilbert (il y a une traduction française).

Citation
tu fais exactement les mêmes choses que Hilbert avec sa règle et son étalon.

Je n'ai peut-être pas bien compris les règles qu'il se donne.

J'avais compris qu'il se donne seulement la possibilité de dupliquer un segment dont la longueur est fixée (un étalon)
Si j'ai bien compris cela signifie qu'il doit se donner une construction pour dupliquer un segment de taille quelconque.
Existe-t-elle pour tout segment?

Pour fixer les idées.
Si on considère les deux demi-droites [AB) et [AC) comment, avec les règles de construction de Hilbert, fait-on pour tracer le point D sur [AC) tel que AD=AB?

Effectivement, Hilbert se donne la possibilité de reporter un étalon de longueur fixée (en plus de la règle). Et je t'ai expliqué que ça permettait de reporter n'importe quelle longueur. N'as-tu pas compris mon explication? Je recommence :
1°) Hilbert montre qu'il peut tracer une parallèle à une droite donnée passant par un point donné. C'est l'extrait qui figure dans mon message plus haut.
2°) Ensuite, en utilisant Thalès et le report de l'étalon, on peut reporter n'importe quelle longueur. Faut-il que je détaille plus que le dessin ?


[attachment 18889 report.png]

Citation
Effectivement, Hilbert se donne la possibilité de reporter un étalon de longueur fixée (en plus de la règle). Et je t'ai expliqué que ça permettait de reporter n'importe quelle longueur. N'as-tu pas compris mon explication? Je recommence

Je ne sais pas lire l'allemand et il faut croire que je ne lis pas attentivement les messages dans cette file.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Fin de partie.

Bonsoir.

Sauf erreur de ma part, tu peux trouver l'ouvrage sur .Gallica

Bruno



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Bruno.

Il est possible de partager un segment en trois segments égaux à l'aide d'une règle non graduée seule, si elle a des bords parallèles...

Bonjour,

C'est la construction que j'ai déja donnée dans mon message du 25-02 !
Simplement à l'envers, en rebaptisant les points et en faisant abstraction du cercle utilisé pour reporter la distance BC de la figure d'origine.

Soit donc à diviser en trois le segment donné AB
[attachment 18903 parallel2.gif]
Tracer la parallèle (d) à AB, autre bord de la règle.
D'un point C extérieur quelconque, tracer les sécantes CDA et CEB
AE et BD se coupent en F
CF coupe AB en M (qui est d'ailleurs le milieu de AB)
AE coupe DM en G
CG coupe AB en N et AN = AB/3 (le démontrer)
L'intersection de EM avec BD donne de même le point N' avec BN' = BA/3

Cette construction utilise l'autre bord de la règle une seule fois,
et on ne tient donc pas compte que les deux bords sont à une distance constante.

En fait la règle à bords parallèle est équivallente à l'utilisation de l'étalon de longueur de Hilbert.
(l'étalon étant la distance des deux bords), le démontrer.
Ici pour trouver le 1/3 de AB, c'est trop riche et il suffit de moins que ça :
Il suffit de tracer une seule parallèle quelconque à AB.

Amicalement.
Philippe.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par chephip.

Merci beaucoup, je suis en troisième et mon prof m'a donné cet exercice en narration de recherche
sans vous je n'y serai surement pas arriver !!!!
encore merci !!!:)-D:D;)

Apprends aussi le français, ça peut servir : "je n'y serais sûrement pas arrivé" . Trois fautes en trois mots, c'est un peu beaucoup ....
Une bonne orthographe, c'est faisable.
RC

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