ellipse incluse dans rectangle
bonjour a tous
Toujours par curiosité intellectuelle, une autre question sur les ellipses
Quelle est la surface maximale d'une ellipse incluse dans un rectangle de 32 par 48 cm ? Et quelles sont ses dimensions?
Je peux avoir une bonne estimation de facon empirique avec un logiciel de dessin vectoriel par essais succeifs, mais je serais curieux de savoir si cela peut etre determiné mathematquement.
Merci beaucoup
A priori elle sera en oblique, pour un carré le grand axe serait superposé a la diagonale, mais je ne suis pas sur que ce le soit pour un rectangle.
( Ou, plus trivialement : quelle est la plus grande taille d'element elliptique de cerf-volant que je peux mettre dans ma valise de cabine... )
Toujours par curiosité intellectuelle, une autre question sur les ellipses
Quelle est la surface maximale d'une ellipse incluse dans un rectangle de 32 par 48 cm ? Et quelles sont ses dimensions?
Je peux avoir une bonne estimation de facon empirique avec un logiciel de dessin vectoriel par essais succeifs, mais je serais curieux de savoir si cela peut etre determiné mathematquement.
Merci beaucoup
A priori elle sera en oblique, pour un carré le grand axe serait superposé a la diagonale, mais je ne suis pas sur que ce le soit pour un rectangle.
( Ou, plus trivialement : quelle est la plus grande taille d'element elliptique de cerf-volant que je peux mettre dans ma valise de cabine... )
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Réponses
Je me suis trompé.
Bruno
Bruno
No comprendo.
Il est "évident" (et expérimentalement aussi) que ce n'est justement
pas en oblique mais tout droit.
et l'aire maximale est alors pi*16*24 = 1206.37
Ou alors je n'ai pas compris ton problème.
Ci dessous la construction d'une ellipse "courante" (de grand axe donné) inscrite dans un rectangle donné ABCD
Bruno
Si l'on se donne une ellipse de demi-axes $a$ et $b$, l'ensemble des points d'où l'on peut mener à cette ellipse des tangentes perpendiculaires est le cercle de Monge de l'ellipse de centre $O$ centre de l'ellipse et de rayon $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Réciproquement, les demi-axes d'une ellipse inscrite dans un rectangle de côtés $2\,m$ et $2\,n$ vérifient :$$a^2 + b^2 = m^2 + n^2$$et comme l'aire de l'ellipse est $\pi\,ab$, on veut rendre le produit $ab$ maximal. La première relation permet d'exprimer $b$ en fonction de $a$ et il suffit alors de dériver le produit $ab$ qui est une fonction de la seule variable $b$.
On peut aussi raisonner "à la Perelman" :
PS : mes notations u et v demi axes de l'ellipse, rectangle de coté 2a, 2b $a > b$
Le produit $u.v$ est maximal quand le produit $(u^2).(v^2)$ est maximal,
sachant que la somme $ (u^2) + (v^2) = cte$, c'est un résultat bien connu
(le produit de deux nombres de somme constante est maximal quand ils sont égaux)
Sinon pour préciser le "aussi égaux que possible" Il s'agit en fait de chercher le max de $u.v$,
avec comme contraintes :
$u^2 + v^2 = a^2 + b^2 = cte$ et $u \ge a$
Sans cette dernière contrainte, on a $u = v$, mais ici la contrainte limitante est $u \ge a$, et donc $u = a$.
Je vais etre franc: je suis largué ! bagage mathematique tres insuffisant !(td)
Mais ca fait plaisir de voir que le sujet semble vous interesser.
@ Chephip
Ce que tu as tracé correspond exactement a ce que je visualisais dans ma tete.
J'avais vu que "tourner" l'ellipse (pour la mettre en oblique) permettait d'augmenter le grand axe, mais pas que cela diminuait le petit, donc que la surface n'etait pas forcement augmentée.
J'ai fait un amalgamme entre "longueur accrue" et "surface accrue".
@ tous
Je re-pose le probleme en ajoutant un parametre supplementaire : le rapport grand axe / petit axe de l'ellipse doit rester egal a 2.
La, comme l'ellipse " droite" n'est tangente qu'en 2 ou 3 points, on doit pouvoir, en la tournant, agmenter les 2 axes, donc la surface.
C'est plutot à cela que je pensait quand j'ai posé le probleme, désolé de ne pas avoir été clair.
NB C'est egalement interessant d'analyser pourquoi on s'est trompé dans le raisonnement. Merci aussi pour cela.
$ \sqrt{a^2 + b^2} \ge u \ge a > b \ge v \ge 0$
Prenons le cas de ta fonction $v \mapsto v\,\sqrt{a^2 + b^2 - v^2^}$, avec $v \in [0, b]$
(x = u ou v selon, ici prenons le petit axe)
le maximum est obtenu pour $v = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2^}2}$ mais est en dehors de cet intervalle.
Mais dans l'intervalle autorisé, la fonction est monotone, et donc le maximum dans l'intervalle est obtenu à la frontière v = b.
(Nota : il est plus simple de raisonner sur la fonction carré de l'aire $v^2 \mapsto v^2\,(a^2 + b^2 - v^2)$)
inscrire dans un rectangle 2a = 48, 2b = 32 une ellipse de demi axes u, v avec u = 2v.
La relation $u^2 + v^2 = a^2 + b^2$ est valable pour toutes les ellipses inscrites,
donc en particulier pour celle là, et comme u = 2v cela donne $5v^2 = a^2 + b^2$
$v = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{5}}$
valeur que l'on peut construire directement.
soit les demi axes v = 12.9 et u = 2v = 25.8 (donc les axes 2v = 25.8 et 2u = 51.6)
On vérifie qu'on a bien $0 \le 12.9 \le 16$ et $24 \le 25.8 \le 28.8$ et que l'ellipse est bien "inscrite" (tangente aux 4 cotés)
Ceci est valable pour toutes les ellipses avec $u/v \ge a/b = 1.5$
Les ellipses moins "applaties" (avec $u/v < 1.5$) ne "s'inscrivent" pas, c'est à dire ne peuvent toucher que trois des côtés au maximum (au pire un cercle !)
OK, c'est tres clair
Merci beaucoup
Et donc, en la mettant en oblique, on gagne 17% de surface, donc de portance.
Dernière curiosité (ça me perdra...). Peut-on calculer l'angle du grand axe ? Il me semble qu'il ne peut pas être parallèle à la diagonale.
[Inutile de répéter le message précédent. AD]
Sur cette figure, l'ellipse rouge $E_{\alpha}$ est tangente aux côtés du rectangle $CDC'D'$ aux points $P$, $Q$, $P'$, $Q'$.
Le quadrilatère $PQP'Q'$ est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales $CC'$ et $DD'$ du rectangle.
Le scalaire $\alpha$ se lit sur la figure:
$\alpha = \dfrac{\overline{AP}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BQ}}{\overline{BD}} \in ]-1,1[$
On a l'égalité suivante entre aires:
$\mathrm{Aire}(E_{\alpha}) = \mathrm{Aire}(E_0)\sqrt{1-\alpha^2}$.
$\alpha$ est donc le paramètre en adéquation avec ce problème.
La configuration est en fait affine et on peut remplacer le rectangle $CDC'D'$ par un parallélogramme sans autre dommage.
Je propose la généralisation suivante:
Déterminer dans un espace euclidien de dimension $n$ le maximum des volumes des $n$-ellipsoïdes inscrits dans un $n$-parallélépipède rectangle.
Ingrédients:
1° Lien entre équations ponctuelle et tangentielle d'un $n$-ellipsoïde
2° Calcul du volume d'un $n$-ellipsoïde connaissant son équation ponctuelle.
3° Utilisation de l'inégalité classique disant que le déterminant d'une matrice symétrique définie positive est majoré par le produit de ses termes diagonaux avec égalité ssi la matrice est diagonale.
Amicalement
Pappus
PS
Désolé, impossible de cocher la case Latex sans avoir un message d'erreur!
En attendant que le Latex refonctionne, il faut lire:
Aire(E[size=small]a[/size]) = Aire(E[size=small]o[/size])sqrt(1-a²) avec a = AP/AD= BQ/BD
Merci à tous les responsables du forum, pour leurs efforts!
[\LaTeX\ fonctionne (quoique je n'y sois pour rien. Bruno]
Soit $u$ un opérateur symétrique défini positif d'un espace vectoriel euclidien $E$.
Soit $\Gamma = \{ x \in E \mid \langle u(x) \mid x\rangle \le 1\}$
Alors $\mathrm{Vol}(\Gamma) =\dfrac{\mathrm{Vol}(S_E)}{\sqrt{\det(u)}}$ où $S_E$ est la sphère unité de $E$.
On peut appliquer cette formule en dimension $2$ en cherchant les équations des ellipses inscrites dans un rectangle dans un repère orthonormé porté par les axes de symétrie du rectangle, les droites $CD$ et $C'D$ ayant respectivement pour équations $x=a$ et $y = b$.
Amicalement
Pappus
PS
Comme le Latex ne fonctionne pas, j'essaye de rendre plus lisibles ces formules.
{Gamma} est l'ensemble des vecteurs x de E tels que le produit scalaire (u(x)|x) soit inférieur ou égal à 1:
(u(x))|x) <= 1
On a alors :
Vol(Gamma) = Vol(Se)/ sqrt(det(u)) où Se est la sphère unité de E
(Pas facile de lire et de répondre au Forum en ce moment...)
pounetBF : "bagage mathematique tres insuffisant !"
donc les "opérateur symétrique défini positif d'un espace vectoriel euclidien" hum... ;-)
Et cela ne répond pas vraiment à sa question :
On peut certes calculer des équations des ellipses etc...
Mais on peut aussi faire ça "géométriquement" en utilisant encore un résultat "bien connu" :
Le produit des distances des foyers à une tangente est constant et égal au carré du demi petit axe
On a donc en appellant u et v les demi-axes de l'ellipse, 2a et 2b les côtés du rectangle, 2c la distance focale
x et y les distances des foyers au grand côté du rectangle, et alpha l'angle de l'axe focal avec le grand côté du rectangle.
[1] a^2 + b^2 = u^2 + v^2 (relation déja vue caractérisant les ellipses inscrites)
[2] u = 2v (demandé par pounetBF)
donc v^2 = (a^2 + b^2)/5, résultat obtenu précédemment
[3] c^2 = u^2 - v^2 (relation métrique dans une ellipse)
donc c^2 = 3v^2 = 3(a^2 + b^2)/5
[4] xy = v^2 (le théorème ci-dessus)
[5] x + y = 2b (O milieu de FF')
donc (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 4b^2 - 4v^2 = (16b^2 - 4a^2)/5
[6] sin(alpha) = (x - y)/(2c), soit sin^2(alpha) = (x - y)^2/(4c^2) = (4b^2 - a^2)/(3a^2 + 3b^2)
et donc avec 2a = 48 et 2b = 32, alpha = 25°
Au lieu d'imposer u = 2v, on peut imposer l'excentricité e = c/u, ici sqrt(3)/2, le problème devenant :
inscrire dans un rectangle donné une ellipse d'excentricité donnée, angle du grand axe ?
Calculs comme ci-dessus, et construction géométrique en construisant u, v, c (par divers Pythagore et proportions) et un foyer comme étant sur le cercle de rayon c, et se projettant en le point d'intersection du grand côté avec le cercle de rayon u.
(il semble que les figures ne marchent pas mieux que LaTeX en ce moment...),
Nota : avec u = 2v, le petit axe et un foyer forment un triangle équilatéral.
En tout cas il est évident que l'axe focal de l'ellipse ne peut en aucun cas être parallèle aux diagonales du rectangle !
Sauf rectangle qui est un carré, ou ellipse d'excentricité = 1, c'est à dire dégénérée en segment de droite = cette diagonale.
Amicalement.
Philippe.
Je suis surtout intéressé par la généralisation en dimension n.
Peut-être aurais je dû ouvrir un autre fil?
En tout cas, il est intéressant de voir ce problème et sa généralisation à travers l'évolution des programmes.
Est-il faisable avec les moyens d'aujourd'hui, j'en doute beaucoup!
Amicalement
Voici tout de même écrite avec les moyens du bord l'équation générale des coniques inscrites dans un rectangle avec les notations de mes précédents messages:
$\dfrac{x²}{a²} +\dfrac{y²}{b²} -2\alpha\dfrac{xy}{ab} -1+\alpha² = 0$
Cette conique sera une ellipse ssi: $-1 < \alpha < 1$.
Bien sûr, le plus intéressant est de savoir comment il faut s'y prendre pour obtenir cette équation mais une fois qu'on l'a obtenue, le calcul de l'aire limitée par cette ellipse est trivial.
En dimension supérieure à 2 et déjà dès la dimension 3, l'obtention d'une équation ponctuelle de la quadrique (ellipsoïde) s'avère rédhibitoire compte tenu de la complexité des calculs.
C'est pourquoi il faut se tourner vers la méthode que j'ai suggérée c'est à dire l'utilisation d'une équation tangentielle de la quadrique et son lien avec une de ses équations ponctuelles qu'il ne sera plus nécessaire de calculer.
Amicalement
Pappus
Mais le problème de l'ellipse d'aire maximale inscrite dans un rectangle donné est résolu !!!
(voir mes précédents messages) par des moyens totalement élémentaires.
Je résume ici :
soient u > v les demi axes d'une ellipse inscrite dans le rectangle de coté 2a > 2b
Comme les sommets du rectangle sont sur le cercle de Monge (alias cercle orthoptique) de cette ellipse
on en déduit que toutes les ellipses inscrites on le même cercle de Monge : le cercle circonscrit au rectangle.
et que u^2 + v^2 = a^2 + b^2 = constante.
On déduit aussi de la propriété triviale de l'ellipse d'être entièrement entre les deux cercles de rayons u et v que la distance du centre à une tangente quelconque est >= v et <= u et que finalement on a
0 < v <= b < a <= u < sqrt(a^2 + b^2)
La conclusion est alors que le maximum de l'aire, c'est à dire du produit u*v, avec les contraintes
u^2 + v^2 = a^2 + b^2 = constante
0 < v <= b < a <= u < sqrt(a^2 + b^2)
est pour v = b et u = a, c'est à dire lorsque l'ellipse est d'axe parallèles aux côtés.
(le maximum absolu sans les inégalités serait lorsque u = v, mais cette valeur est en dehors du domaine de validité de u et v. Autrement dit le maximum de la fonction monotone croissante v -> v*sqrt(a^2 + b^2 - v)
dans l'intervalle ]0, b] est alors pour v = b !)
Amicalement.
En dimension 2, le problème reste élémentaire comme ta jolie solution le prouve quoique je me demande si elle s'adapte bien aux ellipses inscrites dans un parallélogramme.
Mais je m'intéresse surtout à la généralisation en dimension quelconque n pour laquelle seule une solution calculatoire parait possible.
C'est pourquoi la solution analytique en dimension 2 est un point de départ essentiel pour la généralisation que je souhaite.
Amicalement
Pappus
PS
En marge de ce problème en dimension n, on tombe naturellement sur les critères de positivité d'une matrice symétrique réelle. Donc c'est une bonne occasion de faire le tour de cette question d'algèbre!
On choisit un repère orthonormé pour lequel les faces du parallélépipède ont pour équations:
$x =\pm a$,$ y = \pm b$,$ z = \pm c$.
La quadrique devant être tangente aux faces, son centre est celui du parallélépipède.
Dans le repère choisi, elle admet donc une équation de la forme:
$Ax² + By² + Cz² + 2Dyz + 2Ezx + 2 Fxy -1 = 0$
Son équation homogène est donc:
$Ax² + By² + Cz² + 2Dyz + 2Ezx + 2 Fxy -t² = 0$
La matrice symétrique de taille 4 associée à la forme quadratique du premier membre est donc:
$N = \begin{Vmatrix}
A & F& E & 0\\
F & B & D & 0\\
E &D &C & 0\\
0 &0 & 0 & -1
\end{Vmatrix}
$
Le plan d'équation homogène:
$ux + vy + wz + ht = 0$
a pour coordonnées tangentielles $(u, v, w, h)$
Soit
$N' = N^{-1}
=
\begin{Vmatrix}
A' & F' & E' & 0\\
F' &B' &D' & 0\\
E' &D' &C' & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{Vmatrix}
$
où la matrice symétrique de taille 3:
$M' = M^{-1}=
\begin{Vmatrix}
A' & F' & E' \\
F' &B' &D' \\
E' &D' &C'
\end{Vmatrix}
$
est l'inverse de la matrice symétrique
$M
=
\begin{Vmatrix}
A & F & E \\
F & B &D \\
E &D &C
\end{Vmatrix}
$
Le plan de coordonnées tangentielles $(u, v, w, h)$ sera tangent à la quadrique ssi ses coordonnées tangentielles annulent la forme quadratique associée à la matrice $ N'$ c'est à dire ssi:
$A'u² + B'v² + C'w² + 2 D'vw + 2E'wu + 2 F'uv - h² = 0$
C'est cette dernière équation qu'on appelle équation tangentielle de la quadrique.
Il en résulte immédiatement que les faces du parallélépipède seront tangentes à l'ellipsoïde ssi:
$A' = a²$, $ B' = b²$, $C' = c²$.
On a vu dans un de mes messages précédents que le volume de l'ellipsoïde était donné par la formule:
$V = \dfrac{4\pi} 3\sqrt{\det(M)}$
Mais $\det(M) .\det(M') = 1$
Finalement
$V = \dfrac {4\pi} 3.\sqrt{\det(M')}$
Comme la quadrique est un ellipsoïde, la matrice $M$ et donc la matrice $M'$ sont définies positives.
D'après l'inégalité d'Hadamard, on a:
$0 < \det(M') \le a²b²c²$, produit de ses termes diagonaux avec égalité ssi la matrice $M'$ et donc la matrice $M $sont diagonales.
Donc $V\le \dfrac{4\pi} 3abc$ avec égalité ssi $ D= E = F = 0$ et donc $A = \dfrac 1 {a²}$, $B = \dfrac 1 {b²}$, $ C = \dfrac 1 {c²}$.
Amicalement
Pappus
PS
Comment calculer les coordonnées des points de contact de l'ellipsoïde avec les faces?
Comparer la configuration de ces points de contact avec celle de la dimension 2.
Quand le Latex sera revenu, je réécrirai cette preuve qui, je l'espère, est restée compréhensible!
$
N' =
\begin{Vmatrix}
a²& F'& E' &0\\
F' &b² &D' &0\\
E' &D' &c²& 0\\
0 &0 & 0& -1
\end{Vmatrix}
$
Nul besoin de déterminer son équation ponctuelle qui demanderait d'inverser cette matrice!
La matrice $N'$ dépend linéairement de 3 paramètres arbitraires $D'$, $E'$, $F'$.
Amicalement
Pappus
Il suffit donc de faire le calcul, ce n'est pas terrible!
Amicalement
Pappus
a pour coordonnées tangentielles:$ U = (1, 0, 0, -a)$.
les coordonnées homogènes de son point de contact sont donc:
$N'.U = (a², F', E', a)$
Les coordonnées affines s'obtiennent en divisant les trois premières composantes par la quatrième.
Elles sont donc : $(a, \dfrac{F'} a, \dfrac{E'} a)$
De même , le plan $y = b>0$
a pour coordonnées tangentielles: $U = (0,1,0,-b)$
$N'.U = (F', b², D', b)$
Les coordonnées affines de son point de contact sont donc: $(\dfrac{F'} b, b, \dfrac{D'} b)$.
Enfin le plan tangent $z = c>0$
a pour coordonnées tangentielles $U = (0,0,1, -c)$.
$N'.U = (E', D', c², c)$
Les coordonnées affines de son point de contact: $(\dfrac{E'} c, \dfrac{D'} c, c)$.
Les coordonnées affines des trois autres points de contact s'obtiennent par symétrie par rapport à l'origine du repère.
Que peut-on dire maintenant de la configuration de ces six points de contact?
Pourquoi si la quadrique est un ellipsoïde, sont ils situés à l'intérieur de chacun des rectangles formés par les 6 faces?
La réciproque est-elle vraie?
Autrement dit une quadrique tangente au parallélépipède, ayant ses points de contact situés à l'intérieur de chacun des rectangles formés par les 6 faces est-elle nécessairement un ellipsoïde?
Une figure (de Remarque?) aurait été la bienvenue mais c'est impossible en ce moment!
Amicalement
Pappus
$N' = \begin{Vmatrix}
a^2&F'&E'\\
F'&b^2&D'\\
E'&D'&c^2
\end{Vmatrix}
$ est définie positive.
Ce qui entraine que les mineurs diagonaux de taille 2 sont strictement positifs.
Donc: $b^2c^2 -D'^2 >0$ et $\mid D' \mid < bc$ et de même $\mid E' \mid < ca$, $\mid F' \mid < ab$
Compte tenu du calcul antérieur des coordonnées des points de contact, on voit immédiatement que ceux ci sont situés à l'intérieur de chaque rectangle déterminé par les 6 faces.
La réciproque est-elle vraie?
Amicalement
Pappus
$N' =
\begin{Vmatrix}
1&1&3\\
1&2&1\\
3&1&10
\end{Vmatrix}
$
Quelle est la nature de la quadrique associée?
Conclusion?
Serait-il possible de visualiser la figure peut-être avec une autre matrice analogue?
Je n'ai pas de logiciel 3D!
En général, quelle est la disposition des points de contact d'une quadrique tangente aux faces du parallélépipède?
Combien de points de contact au minimum peut-on se donner pour récupérer tous les autres?
Amicalement
Pappus
Pour te donner une idée de ma paresse, j'ai utilisé WIMS pour dévisser la matrice de $\varphi$.
Ca marche, pas en totalité, (peut-être que je m'y suis mal pris?), mais suffisamment pour répondre à cette question.
Avec Maple ou Mathematica, on aurait sans doute des réponses plus complètes.
J'en viens à me demander si on ne devrait pas avoir à l'agrégation des épreuves assistées par ordinateur?
Amicalement
Pappus
Serait-ce le commencement de la fin?
En tout cas , je ne retire pas mes propos et si j'avais disposé du logiciel adéquat, j'aurais été curieux de visualiser la quadrique associée à cette dernière matrice $N'$, ici en l'occurrence un hyperboloïde à une nappe ou H1, pourquoi un H1 d'ailleurs?.
Quelle est aussi la figure correspondant à une matrice
$N' = \begin{Vmatrix}
a^2&F'&E'\\
F'&b^2&D'\\
E'&D'&c^2
\end{Vmatrix}
$
dont les 3 mineurs principaux de taille 2 sont strictement positifs et dont le déterminant est nul?
comment determiner les cotés crv crh d'un rectangle (sans rotation cotes horizontaux et verticaux) qui contient une ellipse quelconque de centre de demi axe et grand axe et de rotation connus.
merci
Impossible de te répondre car ton charabia n'a pas de sens en français et encore moins en mathématiques.
Amicalement
Pappus
Je ne savais qu'on recevait le Phôrüm sur les ondes courtes.
amicalement,
e.v.
calculer les moments geo d'ordre 1 et deux: on connait donc le centre de l'ellipse, ses deux demi axe
et son angle de rotation (ou sa matrice de rot) enfin les 5 parametres necessaire a sa construction)
le probleme est de determiner la boite englobante au sens du traitement d'image c'est a dire le rectangle qui
contient l'ellipse. le but etant par la suite de realiser une transformation affine pasant de l'ellispe a un cercle
pour tous les pixels a l'interieur de l'image (par interpolaion si besoin)
est-ce plus clair?
$x-x_0=\cos\theta (a\cos t) - \sin\theta (b\sin t)$
$y-y_0=\sin\theta (a\cos t) + \cos\theta (b\sin t)$ ($t\in \R$).
$x-x_0$ est maximum ou minimum lorsque $a\cos\theta\sin t +b\sin\theta\cos t =0$. Soit $t_0$ une solution de cette équation. On a $a^2\cos^2\theta (1-\cos^2t_0)=b^2\sin^2\theta\cos^2 t_0$, ce qui permet de déterminer $\cos^2 t_0$, donc $\cos t_0$ au signe près.
D'autre part, toujours en ce maximum ou minimum, $x-x_0=(a \cos\theta+b^2\sin^2\theta/(a\cos\theta))\cos t_0$.
Comme on a trouvé plus haut la valeur de $[\cos t_0|$, ceci permet de calculer les abscisses des sommets du rectangle : elles valent
$x_0\pm |(a \cos\theta+b^2\sin^2\theta/(a\cos\theta))\cos t_0|$.
On procède de même pour les ordonnées.
d'autre part les ondes courtes sont celles qui ont les plus hautes fréquences.
un grand merci a JLT qui a compris et résolu le problème que je m'en vais coder et valider graphiquement.