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Homothéties translations, Menelaus et Ceva.

Envoyé par bdvs 
Bonjour,

J'ai trouvé le document joint sur internet. Dans l'exercice 1 on peut lire :

(E plan affine, HT(E) groupe des homothéties translations)

On fait agir le groupe HT(E) sur l'ensemble Q des couples (a;D) avec a point de E et D une droite
de E ne passant pas par a.

5. Montrer que l'action de HT(E) sur Q est simplement transitive.
6. Application géométrique : les théorémes de Menelaus et Ceva [Tisseron p. 62].

Je n'arrive pas à faire 6 en appliquant 5... et je n'arrive pas à faire 5.

Ce que je comprends pour 5, c'est que (a,D) est dans l'orbite de (a1,D1) ssi D est parallèle à D1.
Il faut montrer qu'il existe une unique homothétie-translation h1 qui envoie a1 sur b et D1 sur D.
Pour l'existence je compose la translation de vecteur (a a1) et l'homothétie de centre a1 et de rapport idoine pour envoyer D1 sur D.
Mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'y en a pas d'autres.

Enfin je ne vois pas bien comment l'appliquer à 6.

Je vous remercie d'avance pour tout éclairage.
[attachment 19309 ut.pdf]

[Y pensais justement. Bruno]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Bruno.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a trois années
Si c'est ma citation qui te pose question, il s'agit d'une réponse d'un baron français à la reine Marguerite de Provence (épouse de Louis IX) lors de la croisade d'Egypte.
Je pense que, telle qu'elle est posée, la question 5 est une pure sottise car l'image par une HT d'une droite est une droite parallèle, on peut donc montrer que les orbites sont les droites parallèles ce qui implique que l'action du groupe n'est pas transitive.

Pour le 6, je t'envoie la photocopie des deux pages de Tisseron. Attention au contenu de ton pdf car il n'est pas fiable. La question 3.1 est mal posée : la notion d'angles orientés n'a pas de sens dans l'espace car les orbites de SO(3) et O(3) sont les mêmes.

Bruno

[attachment 19329 TisseronP62-63.pdf]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Bruno.
Merci, oui en effet pour la 5, en fait je comprenais fidèle mais clairement pas transitive puisque je décrivais même les orbites.


Et ma question était de comprendre si cela était vrai et si on pouvait l'appliquer à la 6.
Mon but étant de voir les théorèmes de Menelas et Ceva comme conséquences de ppté de l'action de HT sur un ensemble, le poly me suggérait un ensemble... mais sa fiabilité étant clairement remise en question...

En tout cas merci.
(au fait cette citation , à quoi fait-elle référence?)
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a trois années
Lors du siège de... par les troupes égyptiennes, la reine qui était enfermée dans la ville aurait demandé au gentilhomme de lui trancher la tête pour lui éviter de tomber aux mains des assiégeants. Ce gentilhomme aurait répondu "Y pensais justement". Probablement que l'histoire est apocryphe mais... "Se non e vero...".

Bruno
Bonjour,

L'dée est sans doute la suivante (je fais pour Menelaus) :

[attachment 19330 Menelaus.png]


Faire l'homothétie de centre C' envoyant A sur B, suivie de celle de centre A' envoyant B sur C, suivie de celle de centre B' envoyant C sur A. Qu'arrive-t-il à A et à la droite $\Delta$ ?
et bien A est fixé, $\Delta$ est globalement invariante (merci à chaque fois pour les dessins éclairant meu), donc la composition est une homothétie de centre A, qui fixe C' par exemple donc l'identité.
Ce qui donne bien l'égalité du théorème de Menelaus.
Ouais, il faudrait un petit argument supplémentaire pour "qui fixe C' ". La question 5 corrigée demandait sans doute de montrer que le stabilisateur du couple (A,$\Delta$) pour l'action du groupe des homothéties-translation est réduit à l'identité. On pouvait alors appliquer ça directement, sans aller chercher C'.
Oui finalement on est bien amené à démontrer que l'action est libre i.e tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si tout élément différent du neutre agit sans point fixe.

Pour cela on considère $(A,\Delta)$ "point" fixe (pour l'action considérée) pour h dans HT(E).

h(A)=A, donc nécéssairement h est une homothétie (pas une translation de vecteur non nul) et plus particulièrement une homothétie de centre A.
De plus, considérons B dans $\Delta$. (AB) est une droite distincte de $\Delta$ (puisque par hypothèse A n'est pas dans $\Delta$).
Et h(B) appartient à la droite (AB) (puisque le centre de l'homothétie est A) et comme $\Delta$ est stable, h(B) appartient à $\Delta$.

Or deux droites distinctes ont au plus un point d'intersection, donc nécessairement h(B)=B. Comme A n'est pas dans $\Delta$, A est distinct de B. h(B)=B implique donc que h est une homothétie de rapport 1, c'est-à-dire h est l'identité.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
Reste la même question pour Ceva. Même si on admet que dans un sens vague les deux théorèmes sont duaux, je ne vois pas du tout quelles homothéties il faudrait invoquer pour prouver Ceva.
Tiens, un fil qui remonte.

A vrai dire, je ne vois pas non plus comment faire avec des homothéties (sauf à déduire Menelaus de Ceva). Mais avec des affinités, on peut.
Les notations sont expliquées sur le dessin ci-dessous.

[attachment 21344 ceva..png]


Soit $a_1$ l'affinité d'axe $(BB')$ qui envoie $C$ sur $A$. Elle envoie $A'$ sur $D$ ($(A'D)$ parrallèle à $(CA)$).
Soit $a_2$ l'affinité d'axe $(CC')$ qui envoie $A$ sur $B$. Elle envoie $D$ sur $F$ ($(EF)$ parallèle à $(BC)$. Thalès à deux coups, via $E$).
Soit $a_3$ l'affinité d'axe $(AA')$ qui envoie $B$ sur $C$. Elle envoie $F$ sur $G$.
La composée $a_3\circ a_2\circ a_1$ fixe $C$ et $I$. C'est une affinité d'axe $(CC')$. Elle envoie $A'$ sur $G$ et est donc de rapport $-1$ au vu du parallélogramme $A'CGE$. Conclusion : le produit des 3 rapports de $a_1$, $a_2$ et $a_3$ vaut $-1$
Je voulais dire "déduire Ceva de Menelaus".
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
Merci, c'est original. Le "Thalès à deux coups, via $E$" est un peu cryptique, mais je pense le voir. Il me semble ce le cadre est différent que pour la preuve de Menelaus: on n'est pas dans le groupe des homothéties-translations, mais dans le groupe affine en sa totalité. La preuve repose sur l'homomorphisme de ce groupe vers $K^\times$ donné par le déterminant de l'application linéaire associée (peux-je l'appeler l'application dérivée?), qui est particulierement simple à calculer dans le cas des affinités.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
La démonstration du théorème de Céva par l'associativité barycentrique me semble quand même plus simple.
Quant à celle de Meu, (qui ne concerne que sa partie nécessaire dans le cas des droites concourantes), elle revient au fond à celle utilisant les équations respectives $ y = \alpha z$, $z = \beta x$, $x = \gamma y$ des droites $AA'$, $BB'$, $CC'$ en coordonnées barycentriques homogènes.
Ces trois droites font partie d'un même faisceau de droites parallèles ou concourantes si et seulement si ce système linéaire homogène admet une solution non triviale, ce qui équivaut à $\alpha.\beta.\gamma = 1$.
Il faut évidemment faire le lien entre les scalaires $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et les différents rapports intervenant dans l'énoncé du théorème de Céva.
Amicalement
Pappus
Bonjour Pappus,

La démonstration barycentrique que tu rappelles est bien connue et traîne partout. Le but du jeu ici était de voir si l'on peut obtenir une démonstration par utilisation directe du groupe des homothéties translations. Ca aurait été intéressant que tu en donnes une, si tu en connais. Moi je n'en connais pas, et à défaut j'ai donné cette démonstration qui repose sur la composition d'affinités, qui me semble assez facile. Je signale que du point de vue projectif, homothétie et affinité c'est kif-kif : des homographies du plan avec une droite fixe point par point et un point fixe en dehors. Dans le premier cas, c'est la droite de points fixes qui est à l'infini, et dans l'autre cas c'est le point fixe solitaire.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
Mon cher Meu
Je voulais seulement montrer la parenté entre ta démonstration et la démonstration analytique.
Je suis comme toi, je ne connais pas de telle démonstration mais le fait qu'il faille distinguer dans le théorème de Céva le cas droites concourantes du cas droites parallèles m'incite à douter de son existence.
Amicalement
Pappus
Je signale que la démonstration via les affinités marche aussi dans le cas où $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles. Il suffit de remplacer
"La composée $ a_3\circ a_2\circ a_1$ fixe $ C$ et $ I$".
par
"La composée $ a_3\circ a_2\circ a_1$ est une composée d'affinités d'axes parallèles qui fixe $ C$".
Dans les deux cas, j'aurais dû en conclure que c'est une affinité ou une transvection d'axe $(CC')$.
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