Pensez à lire la Charte avant de poster !
Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
107 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Homothéties translations, Menelaus et Ceva.

Envoyé par bdvs 
Bonjour,

J'ai trouvé le document joint sur internet. Dans l'exercice 1 on peut lire :

(E plan affine, HT(E) groupe des homothéties translations)

On fait agir le groupe HT(E) sur l'ensemble Q des couples (a;D) avec a point de E et D une droite
de E ne passant pas par a.

5. Montrer que l'action de HT(E) sur Q est simplement transitive.
6. Application géométrique : les théorémes de Menelaus et Ceva [Tisseron p. 62].

Je n'arrive pas à faire 6 en appliquant 5... et je n'arrive pas à faire 5.

Ce que je comprends pour 5, c'est que (a,D) est dans l'orbite de (a1,D1) ssi D est parallèle à D1.
Il faut montrer qu'il existe une unique homothétie-translation h1 qui envoie a1 sur b et D1 sur D.
Pour l'existence je compose la translation de vecteur (a a1) et l'homothétie de centre a1 et de rapport idoine pour envoyer D1 sur D.
Mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'y en a pas d'autres.

Enfin je ne vois pas bien comment l'appliquer à 6.

Je vous remercie d'avance pour tout éclairage.
[attachment 19309 ut.pdf]

[Y pensais justement. Bruno]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Bruno.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ut.pdf (54.9 KB)
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a trois années
avatar
Si c'est ma citation qui te pose question, il s'agit d'une réponse d'un baron français à la reine Marguerite de Provence (épouse de Louis IX) lors de la croisade d'Egypte.
Je pense que, telle qu'elle est posée, la question 5 est une pure sottise car l'image par une HT d'une droite est une droite parallèle, on peut donc montrer que les orbites sont les droites parallèles ce qui implique que l'action du groupe n'est pas transitive.

Pour le 6, je t'envoie la photocopie des deux pages de Tisseron. Attention au contenu de ton pdf car il n'est pas fiable. La question 3.1 est mal posée : la notion d'angles orientés n'a pas de sens dans l'espace car les orbites de SO(3) et O(3) sont les mêmes.

Bruno

[attachment 19329 TisseronP62-63.pdf]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Bruno.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - TisseronP62-63.pdf (349.3 KB)
Merci, oui en effet pour la 5, en fait je comprenais fidèle mais clairement pas transitive puisque je décrivais même les orbites.


Et ma question était de comprendre si cela était vrai et si on pouvait l'appliquer à la 6.
Mon but étant de voir les théorèmes de Menelas et Ceva comme conséquences de ppté de l'action de HT sur un ensemble, le poly me suggérait un ensemble... mais sa fiabilité étant clairement remise en question...

En tout cas merci.
(au fait cette citation , à quoi fait-elle référence?)
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a trois années
avatar
Lors du siège de... par les troupes égyptiennes, la reine qui était enfermée dans la ville aurait demandé au gentilhomme de lui trancher la tête pour lui éviter de tomber aux mains des assiégeants. Ce gentilhomme aurait répondu "Y pensais justement". Probablement que l'histoire est apocryphe mais... "Se non e vero...".

Bruno
Bonjour,

L'dée est sans doute la suivante (je fais pour Menelaus) :

[attachment 19330 Menelaus.png]


Faire l'homothétie de centre C' envoyant A sur B, suivie de celle de centre A' envoyant B sur C, suivie de celle de centre B' envoyant C sur A. Qu'arrive-t-il à A et à la droite $\Delta$ ?
et bien A est fixé, $\Delta$ est globalement invariante (merci à chaque fois pour les dessins éclairant meu), donc la composition est une homothétie de centre A, qui fixe C' par exemple donc l'identité.
Ce qui donne bien l'égalité du théorème de Menelaus.
Ouais, il faudrait un petit argument supplémentaire pour "qui fixe C' ". La question 5 corrigée demandait sans doute de montrer que le stabilisateur du couple (A,$\Delta$) pour l'action du groupe des homothéties-translation est réduit à l'identité. On pouvait alors appliquer ça directement, sans aller chercher C'.
Oui finalement on est bien amené à démontrer que l'action est libre i.e tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si tout élément différent du neutre agit sans point fixe.

Pour cela on considère $(A,\Delta)$ "point" fixe (pour l'action considérée) pour h dans HT(E).

h(A)=A, donc nécéssairement h est une homothétie (pas une translation de vecteur non nul) et plus particulièrement une homothétie de centre A.
De plus, considérons B dans $\Delta$. (AB) est une droite distincte de $\Delta$ (puisque par hypothèse A n'est pas dans $\Delta$).
Et h(B) appartient à la droite (AB) (puisque le centre de l'homothétie est A) et comme $\Delta$ est stable, h(B) appartient à $\Delta$.

Or deux droites distinctes ont au plus un point d'intersection, donc nécessairement h(B)=B. Comme A n'est pas dans $\Delta$, A est distinct de B. h(B)=B implique donc que h est une homothétie de rapport 1, c'est-à-dire h est l'identité.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
Reste la même question pour Ceva. Même si on admet que dans un sens vague les deux théorèmes sont duaux, je ne vois pas du tout quelles homothéties il faudrait invoquer pour prouver Ceva.
Tiens, un fil qui remonte.

A vrai dire, je ne vois pas non plus comment faire avec des homothéties (sauf à déduire Menelaus de Ceva). Mais avec des affinités, on peut.
Les notations sont expliquées sur le dessin ci-dessous.

[attachment 21344 ceva..png]


Soit $a_1$ l'affinité d'axe $(BB')$ qui envoie $C$ sur $A$. Elle envoie $A'$ sur $D$ ($(A'D)$ parrallèle à $(CA)$).
Soit $a_2$ l'affinité d'axe $(CC')$ qui envoie $A$ sur $B$. Elle envoie $D$ sur $F$ ($(EF)$ parallèle à $(BC)$. Thalès à deux coups, via $E$).
Soit $a_3$ l'affinité d'axe $(AA')$ qui envoie $B$ sur $C$. Elle envoie $F$ sur $G$.
La composée $a_3\circ a_2\circ a_1$ fixe $C$ et $I$. C'est une affinité d'axe $(CC')$. Elle envoie $A'$ sur $G$ et est donc de rapport $-1$ au vu du parallélogramme $A'CGE$. Conclusion : le produit des 3 rapports de $a_1$, $a_2$ et $a_3$ vaut $-1$
Je voulais dire "déduire Ceva de Menelaus".
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
Merci, c'est original. Le "Thalès à deux coups, via $E$" est un peu cryptique, mais je pense le voir. Il me semble ce le cadre est différent que pour la preuve de Menelaus: on n'est pas dans le groupe des homothéties-translations, mais dans le groupe affine en sa totalité. La preuve repose sur l'homomorphisme de ce groupe vers $K^\times$ donné par le déterminant de l'application linéaire associée (peux-je l'appeler l'application dérivée?), qui est particulierement simple à calculer dans le cas des affinités.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
La démonstration du théorème de Céva par l'associativité barycentrique me semble quand même plus simple.
Quant à celle de Meu, (qui ne concerne que sa partie nécessaire dans le cas des droites concourantes), elle revient au fond à celle utilisant les équations respectives $ y = \alpha z$, $z = \beta x$, $x = \gamma y$ des droites $AA'$, $BB'$, $CC'$ en coordonnées barycentriques homogènes.
Ces trois droites font partie d'un même faisceau de droites parallèles ou concourantes si et seulement si ce système linéaire homogène admet une solution non triviale, ce qui équivaut à $\alpha.\beta.\gamma = 1$.
Il faut évidemment faire le lien entre les scalaires $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et les différents rapports intervenant dans l'énoncé du théorème de Céva.
Amicalement
Pappus
Bonjour Pappus,

La démonstration barycentrique que tu rappelles est bien connue et traîne partout. Le but du jeu ici était de voir si l'on peut obtenir une démonstration par utilisation directe du groupe des homothéties translations. Ca aurait été intéressant que tu en donnes une, si tu en connais. Moi je n'en connais pas, et à défaut j'ai donné cette démonstration qui repose sur la composition d'affinités, qui me semble assez facile. Je signale que du point de vue projectif, homothétie et affinité c'est kif-kif : des homographies du plan avec une droite fixe point par point et un point fixe en dehors. Dans le premier cas, c'est la droite de points fixes qui est à l'infini, et dans l'autre cas c'est le point fixe solitaire.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a deux années
Mon cher Meu
Je voulais seulement montrer la parenté entre ta démonstration et la démonstration analytique.
Je suis comme toi, je ne connais pas de telle démonstration mais le fait qu'il faille distinguer dans le théorème de Céva le cas droites concourantes du cas droites parallèles m'incite à douter de son existence.
Amicalement
Pappus
Je signale que la démonstration via les affinités marche aussi dans le cas où $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles. Il suffit de remplacer
"La composée $ a_3\circ a_2\circ a_1$ fixe $ C$ et $ I$".
par
"La composée $ a_3\circ a_2\circ a_1$ est une composée d'affinités d'axes parallèles qui fixe $ C$".
Dans les deux cas, j'aurais dû en conclure que c'est une affinité ou une transvection d'axe $(CC')$.
s il vous plait puis avoir les demonstartions des theoremes de Menelaus et de Ceva. Merci d avance
Re: theoremes de Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
Ménélaüs est un corollaire de Thalès et Céva un corollaire de Ménélaüs : niveau Troisième.
Re: theoremes de Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
Pour Ménélaus et Ceva :

Tape "menelaus ceva" dans ton moteur de recherche préféré, puis choisis.

ça prend 15 secondes !!!
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
Mon cher Meu
Aurais-tu la gentillesse de refaire ta figure correspondant à la démonstration du théorème de Céva par les affinités car tes lecteurs se désespèrent de ne plus la comprendre?
Amicalement
Pappus
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
Bonjour.

[postimg.org]]
@ Pappus : si j'avais retrouvé la figure, je l'aurais volontiers mise. Mais en refaire une... pouf pouf

@ Soland : on peut voir aussi la version projective de Menelaüs ici, avec le fait que le théorème dual est bien Ceva projectif.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
Mon cher Meu
A défaut de refaire une figure, peux-tu au moins rappeler les diverses définitions des points de ta figure car les notations que tu utilisais étaient justement données sur la figure disparue?
Je veux bien alors me charger de refaire ta figure.
Amicalement
Pappus.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
@Meu
Céva projectif met en jeu un triangle, un point et une droite ("à l'infini"). C'est une figure autoduale.
Ménélaüs projectif met en jeu un triangle, une droite et une 2e droite ("à l'infini"). La figure duale met en jeu un triangle et deux points.
Encore un argument : Si les deux configurations étaient duales, le produit remarquable ne changerait pas de signe.
Cordialement.
@ soland : je vois que tu n'as pas pris la peine de regarder le texte que je mettais en lien.
@ pappus : je ne peux plus joindre d'image, mais voici le protocole de construction.

1 Point A
2 Point B
3 Point C
4 Point I
5 Droite a Droite (AB)
6 Droite b Droite (AC)
7 Droite c Droite (CB)
8 Droite d Droite (AI)
9 Droite e Droite (CI)
10 Droite f Droite (BI)
11 Point A' Point d'intersection de c et d
12 Point C' Point d'intersection de a et e
13 Point B' Point d'intersection de b et f
14 Droite g Parallèle à b passant par A'
15 Point D Point d'intersection de a et g
16 Point E Point d'intersection de e et g
17 Droite h Parallèle à c passant par E
18 Point F Point d'intersection de a et h
19 Point G Point d'intersection de b et h
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
Tu peux toujours poster un lien vers une image que tu fais héberger quelque part sur le ouèbe.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
@Meu
J'ai regardé ton lien et vu un "double Céva" dual de Ménélaüs.
Si j'appelle Céva projectif ma figure infra à droite en haut, je n'ai pas de problème de signe.
Pour moi, le passage affine-projectif s'effectue en rajoutant une droite (violette) et en remplaçant les rapports de section par des birapports :
$(AB,C')(BC,A')(CA,B')=-1$
devient
$(AB,C'C'')(BC,A'A'')(CA,B'B'')=-1$ sans changement de signe ou autre artifice.
Les calculs suivent.
Cordialement.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
Pour bien préciser : "projectiviser" un problème consiste à distinguer une droite particulière et non à distinguer un point particulier.


[postimg.org]]
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
Mon cher Meu
Merci du fond du coeur pour ton aide.
En fait, je ne comprenais pas la définition de $E$ et je voulais en avoir le coeur net!
Voici ta figure sur laquelle tes lecteurs pourront apprécier ta jolie démonstration du théorème de Céva via les affinités.



J'ai seulement effacé les noms des droites pour ne garder que les étiquettes des points.
$a_1$ est l'affinité d'axe $BB'$ envoyant $C$ sur $A$ et $D=a_1(A')$
$a_2$ est l'affinité d'axe $CC'$ envoyant $A$ sur $B$ et $F=a_2(D)$
$a_3$ est l'affinité d'axe $AA'$ envoyant $B$ sur $C$ et $a_3(F) = G$.
Je réécris ta démonstration.:
La transformation affine $a_3\circ a_2\circ a_1$ fixe $C$ et $I$. C'est donc une affinité d'axe $(CC')$.
Elle transforme $A'$ en $G$ et est donc de rapport $-1$ au vu du parallélogramme $A'CGE$.
En fait, je n'avais pas compris que ce fameux parallélogramme était la définition de $E$, la seule chose à montrer ensuite étant que $E \in (CC')$ et c'est là le coeur de ta démonstration!!

Très belle démonstration!
Un petit défaut que tu as corrigé toi même dans l'un des messages suivants:
Une transformation affine qui fixe tous les points d'une droite est une affinité ou une transvection.
Mais sur ta figure, il est clair que ce n'est pas le dernier cas, j'ai même tracé pour les incrédules la diagonale $A'G$ de ton fameux parallélogramme pour qu'ils soient bien convaincus que le rapport de l'affinité $a_3\circ a_2\circ a_1$ vaut $-1$.
Amicalement
Pappus



Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par pappus.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
Mon cher Meu
En ce qui concerne le "coeur" de ta démonstration, je m'aperçois que je n'ai pas défini le point $E$ tout à fait comme toi.
Tu définis $E$ comme intersection des droites $A'D$ et $CC'$ puis le point $F$ comme la projection de $E$ sur $AB$ parallèlement à $BC$ puis tu affirmes que $F=a_2(D)$ en utilisant un Thalès à deux coups via $E$.
Je crains que certains de tes lecteurs ne trouvent cela un peu ésotérique sans autre détail!
En t'ayant mal lu, j'ai défini le point $E$ comme intersection des droites $FG$ et $A'D$ et ainsi le quadrilatère $A'CGE$ est automatiquement un parallélogramme.
Il reste à montrer que $E \in (CC')$.
Je le fais de la façon suivante.
$a_2$ transforme la droite $AC$ en la droite $BC$ et comme toute transformation affine qui se respecte, elle conserve le parallélisme.
Donc $a_2$ transforme la droite $A'D\parallel AC$ en une droite passant par $F=a_2(D)$ et parallèle à $BC$c'est à dire la droite $FG$ Ceci entraine que $E = A'D \cap FG$ appartient à l'axe de l'affinité $(CC')$.
Amicalement
Pappus
C'est pourtant clair, soland:

Menelaus projectif : Un triangle, deux droites, les trois points d'intersection de la première droite avec les côtés du triangle.
On a un produit de trois birapports qui vaut 1.

On obtient Menelaus affine en choisissant la droite de l'infini de façon qu'elle coincide avec la deuxième droite.

Dual de Menelaus projectif : Un triangle, deux points, les trois droites joignant le premier point avec les sommets du triangle.
On a un produit de trois birapports (de droites) qui vaut 1.

On obtient Ceva affine en choisissant la droite de l'infini de façon que le deuxième point soit l'isobarycentre du triangle.

Pourquoi dans la formulation de Ceva a-t-on un produit de rapports de mesures algébriques qui vaut $-1$ ? Tout simplement parce que si $M$ est le milieu de $AB$ et $C'$ est sur $(AB)$, alors $\dfrac{\overline{AC'}}{\overline{BC'}}$ est l'opposé du birapport de droites $[(CA), (CB), (CC'), (CM)]$.

Ceva est bien dual de Menelaus.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
Je pense que nous avons trois configurations. Toutes comportent un triangle. La première (Ménélaüs projectif) est complétée par deux droites. La seconde ("mon" Céva projectif) est complétée par une droite et un point. La troisième ("ton" Céva projectif) est complétée par deux points.

Nous n'avons que deux noms pour ces trois configurations qui ont le même droit à l'existence; c'est l'objet du litige. Je ne revendique pas le titre de "Céva projectif" pour la deuxième configuration, mais comment veux-tu l'appeler ?
@ Pappus : le "Thalès à deux coups" n'est autre que

$$\dfrac{\overline{C'F}}{\overline{C'B}}=\dfrac{\overline{C'E}}{\overline{C'C}}=\dfrac{\overline{C'D}}{\overline{C'A}}\;.$$

Esotérique ?
@ soland : le problème n'est bien évidement pas un problème de configuration. Le problème est celui du "bon" birapport à choisir pour s'apercevoir que Ceva est dual projectif de Menelaus (choix qui supprime le souci du $-1$). Pour Ceva il va s'agir de birapports de droites passant par un sommet (dualité oblige), et la quatrième droite est la médiane, tout simplement.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
avatar
Je vais réfléchir.
Re: Homothéties translations, Menelaus et Ceva.
il y a cinq mois
La jolie démonstration de Meu m'inspire l'exercice suivant dont le résultat me semble particulièrement moral!
Soit $ABC$ un triangle du plan affine.
On se donne trois points quelconques $A' \in BC$, $B' \in CA$, $C'\in AB$.
Je garde alors ses définitions:
$a_1$ est l'affinité d'axe $BB'$ envoyant $C$ sur $A$.
$a_2$ est l'affinité d'axe $CC'$ envoyant $A$ sur $B$
$a_3$ est l'affinité d'axe $AA'$ envoyant $B$ sur $C$.
Chercher les configurations des triplets $(A', B', C')$ pour que $f=a_3\circ a_2 \circ a_1$ soit d'ordre fini
Meu a brillamment démontré que c'était le cas quand les droites $AA'$, $BB'$, $CC'$ étaient liées c'est à dire faisaient partie d'un même faisceau de droites auquel cas $f$ est d'ordre $2$ mais y-a-t-il d'autres cas et si oui les trouver?
Amicalement
Pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par pappus.
Auteur:

Votre adresse électronique:


Sujet:


Mesure anti-SPAM :
Recopiez le code que vous voyez dans le champ ci-dessous. Cette mesure sert à bloquer les robots informatiques qui tentent de polluer ce site.
 **    **  ********    *******         **  **     ** 
 **   **   **     **  **     **        **  **     ** 
 **  **    **     **  **               **  **     ** 
 *****     ********   ********         **  **     ** 
 **  **    **         **     **  **    **  **     ** 
 **   **   **         **     **  **    **  **     ** 
 **    **  **          *******    ******    *******  
Message:
A lire avant de poster!
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 98 542, Messages: 905 996, Utilisateurs: 10 006.
Notre dernier utilisateur inscrit CalvinHarris.


Ce forum
Discussions: 4 795, Messages: 53 100.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page
Autres...