produit scalaire
BONJOUR A TOUS , J'ai un exercice de maths mais je n'arrive pas à le comprendre merci de votre aide voici le sujet :
LE PLAN EST RAPPORTE A UN REPERE ORTHONORMAL (O;I;J). SOIT LES POINTS A(1;2) ET B(3;0);
1) DETERMINER PAR UNE EQUATION L'ENSEMBLE (E) DES POINTS M TELS QUE MA.MB = 3.
2) QUELLE EST LA NATURE DE CET ENSEMBLE.
3) PEUT-ON TROUVER UN POINT P SUR L'AXE (Oy) TEL QUE PA.PB = 3?
4) DETERMINER PAR UNE EQUATION L'ENSEMBLE (F) DES POINTS M TELS QUE MA.MB = 3.
5) DETERMINER L'ENSEMBLE (E) INTER (F) A L'AIDE DES EQUATIONS TROUVEES POUR (E) ET (F).
6) DETERMINER L'ENSEMBLE (E) INTER (F) SANS UTILIDER LES EQUATIONS DE (E) ET (F).
MERCIII POUR VOTRE AIDEEE !!!
LE PLAN EST RAPPORTE A UN REPERE ORTHONORMAL (O;I;J). SOIT LES POINTS A(1;2) ET B(3;0);
1) DETERMINER PAR UNE EQUATION L'ENSEMBLE (E) DES POINTS M TELS QUE MA.MB = 3.
2) QUELLE EST LA NATURE DE CET ENSEMBLE.
3) PEUT-ON TROUVER UN POINT P SUR L'AXE (Oy) TEL QUE PA.PB = 3?
4) DETERMINER PAR UNE EQUATION L'ENSEMBLE (F) DES POINTS M TELS QUE MA.MB = 3.
5) DETERMINER L'ENSEMBLE (E) INTER (F) A L'AIDE DES EQUATIONS TROUVEES POUR (E) ET (F).
6) DETERMINER L'ENSEMBLE (E) INTER (F) SANS UTILIDER LES EQUATIONS DE (E) ET (F).
MERCIII POUR VOTRE AIDEEE !!!
Réponses
-
Bonjour Leila_.
La prochaine fois, peux-tu éviter de taper le texte en majuscules ? C'est difficile à lire, et, sur les forums, les mots en majuscules sont interprétés comme des cris. Tuas (sans le vouloir) crié ton énoncé.
Deuxième chose : On ne fait pas les exercices à la place de ceux qui doivent savoir les faire (lire la charte - tu peux cliquer sur ce lien). Donc qu'as-tu fait, et où bloques-tu ?
j'imagine qu'en appelant x et y les coordonnées de M, tu as traduit la condition et trouvé l'équation. Reconnais-tu ce type d'équation ? Après développement, éventuellement.
Cordialement. -
Ah je ne savais pas pour les mahuscules , je m'excuse , je bloque sur tout mais pouvais vous m'aider , je ne demande pas a le faire car je sais que c'est a moi de le faire !!
M(x;y) c'est léquation xx' + yy' ? -
Bonjour,
Si tu pouvais éviter les majuscules~... ça fait mauvais genre.
Venons en au fait, le point $M$ est défini par ses coordonnées $(x,\,y)$ tu en déduis facilement les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MA}$, $(1-x\,;\,2-y))$ et $\overrightarrow{MB}$~... ce qui te permets de calculer l'expression du produit scalaire $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} $ et donc d'obtenir une équation implicite de l'ensemble cherché.
Avec un peu de chance tu reconnais une équation classique, sinon, reviens sur le forum. -
Ensuite on résoud une équation avec les coordonnées ?
-
Qui te parle de résoudre~?
Si tu as une équation de la forme $a\,x + b\, y + c = 0$, tu reconnais une droite, si tu as une équation de la forme $x^{2} + y^{2} + a\,x + b\, y + c = 0$, c'est un cercle etc~...
N'oublie pas qu'on peu diviser ou multiplier les deux membres d'une égalité~... -
DETERMINER PAR UNE EQUATION L'ENSEMBLE (E) DES POINTS M TELS QUE MA.MB = 3.
c'est a dire que on trouve les coordonnées de MA et de MB , et on fait ax+by+c ?? -
Leila,
en quelle classe es-tu ? Cet exercice est à vue de nez du niveau d'une première scientifique et tu poses des questions d'élève de troisième. Difficile de t'aider si tu ne connais pas les notions de base.
D'autre part, il y a une erreur d'énoncé (la question 4 n'est que la copie de la question 1)
Cordialement. -
Je suis en seconde
! La 4éme question c'est l'ensemble F -
Non, on développe l'expression du produit scalaire $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} $ en fonction de $x$ et $y$ et on écrit tout simplement que cette expression vaut trois.
Si tu ne connais plus l'expression analytique du produit scalaire c'est le moment de réviser.
Faut pas mollir. -
Donc on a Soit M (x;y)
MA (1-x;2-y) et MB (3-x;0-y)
implique que MA.MB=3
implique que (1-x)*(3-x) + (2-y)*(0-y) = 3.
implique que 3-x-3x+x²-y+y²=3.
implique que x²+y²-3x-2y-x = 0
L'equation est ss forme x²+y²+ax+by+c=0 -
Je comprends mieux !
En dehors de la rédaction, où les "implique" posent problème, tu es arrivée à l'équation (fausse).
En fait, pour avoir l'équation, il faut une équivalence :
$M\in E \iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=3$
$M\in E \iff (1-x)*(3-x) + (2-y)*(0-y) = 3$
$M\in E \iff ...$ avec un développement à rectifier (une erreur de calcul à chaque ligne).
D'après la forme de l'équation, quelle courbe est E ?
Cordialement. -
M appartient à E equivaut que x²+y²-4x-2y+3 = 3 par conséquent la courbe (E) est une parabole ?
-
bonjour,
je vois plutôt ce qui suit pour la question 1° :
D'après un théorème de la médiane :
$\mathdisplays\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=MI²+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=MI²-IA²$
comme on a :
$\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$
en toute fin, on obtient :
$\mathdisplays\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=IM²-\frac{AB²}{4}$
donc l'ensemble des points $M$ qui vérifient :
$\mathdisplays\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=3$ est un cercle de centre I et de rayon $3+\frac{AB²}{4}$
De là, on a une vue meilleure de la question analytique -
Bonjour JeroM pourquoi utiliser le théorème de la médiane au lieu de chercher l'équation ?
-
en utilisant ce théorème, on détermine l'ensemble des points M, ceci réponds alors à la question 1 et 2 : on a un cercle.
Après, tu semble étrangère (marocaine ?) , donc je ne sais pas ce qu'attends ton prof. -
Non je suis Mexicaine
!! En classe nous n'avons pas vu le théorème
[Inutile de répéter les messages précédents. AD] -
NON TU A RAISON C'EST BIEN CE THEOREME JE LAVAIS MAL ANALYSER PAR CONSEQUENT A LA QUESTION 2 ON DIS QUE LA NATURE DE CETTE ENSEMBLE EST UN CERCLE ? Mais a la question 1 on nous demande une équation l'équation d'après le théorème serait ?
[Pourquoi crier ? AD] -
ton développement est correct.
pour retrouver l'objet géométrique (ici un cercle) on doit récrire une équation du type:
$(x-a)²+(y-b)²=R²$
il faut donc (avec la forme développée) factoriser en reformant les identités remarquables.
celles du type :
$(A-B)²=A²-2AB+B²$ -
tu trouve :
$x²+y²-4x-2y=0$
$x²-4x$ est le début d'une identité remarquable $-4x$ étant le double produit. -
Donc on a comme équation : (x-3)+(y-AB²/4) = 3 ???
-
Bon, en simplifiant,
$ (1-x)*(3-x) + (2-y)*(0-y) = 3 \iff x^{2} + y^{2} -4\,x -2\,y = 0$ je reconnais la forme $x^{2} + y^{2} + a\,x + b\, y + c = 0$, nous avons donc affaire à un cercle.
Maintenant tu dois savoir que les points de l'axe $Oy$ vérifient $x = 0$.
Peux tu trouver des (coordonnées de) points qui vérifient à la fois $x = 0$ et $x^{2} + y^{2} -4\,x -2\,y = 0$~?
Pour la suite je subodore une erreur dans l'énoncé~??? -
Donc on a (x-2)² = 3-AB²/4 ??
-
et (x-2)² = R² ??
-
Braun tout ton développement c'est pour la 1 et 2 questions n'est ce pas ?
-
non le théorème de la médiane ne doit pas être utilisé.
Tu as l'équation :
$x²+y²-4x-2y+3=3$
donc
$x²+y²-4x-2y=0$
On a $(x-2)²=x²-4x+4$ qui ressemble au début de ton équation $x²-4x$
je dis que $x²-4x=x²-4x+4\red{-4}\black{=}(x-2)²\red{-4}$ -
on fait la même chose avec les $y$
-
Donc l'équation est (x-2)²-4 pour la premiére question sans utilisé le théoréme en utiliqant ma méthode et pour la 2eme question c'est un cercle l'ensemble de (E) ?? C'est ca ?
-
@ Leila,
Oui, je pense répondre aux questions 1, 2 et 3.
Si tu ne connais pas l'équation caractéristique d'un cercle, tu peux effectivement chercher son centre en réécrivant cette équation sous la forme~:
$\displaystyle (x-1)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{5}{4} $, ce que t'explique jéroM, mais je ne suis pas sûr que ce soit explicitement demandé par l'énoncé. -
non l'équation est bien $x²+y²-4x-2y=0$ qui est l'équation cartésienne d'un cercle
il faut la mettre sous la forme $(x-a)²+(y-b)²=R²$ où (a;b) est le couple de coordonnées du centre de ce cercle et R le rayon de ce cercle
comme le dit Braun, il y a une erreur dans l'énoncé, l'ensemble (F) est le même que l'ensemble (E) -
Braun, je trouve plutôt ,sauf erreur :
$(x-2)²+(y-1)²=5$ -
Exact, au temps pour moi.
Ca me semblait sans doute trop simple ! -
jeroM écrivait:
> non l'équation est bien $x²+y²-4x-2y=0$ qui est
> l'équation cartésienne d'un cercle
>
> il faut la mettre sous la forme $(x-a)²+(y-b)²=R²$
> où (a;b) est le couple de coordonnées du centre
> de ce cercle et R le rayon de ce cercle
>
> comme le dit Braun, il y a une erreur dans
> l'énoncé, l'ensemble (F) est le même que
> l'ensemble (E)
CE QUE TU DIS EST JUSTE MAIS POUR QUELLE QUESTION JE NE COMPREND PLUS ON A TROUVER L'EQUETION DONC LA QUESTION 1) ET LE CERCLE DONC LA QUESTION 2) -
reprenons.
1° $M\in\E$ si, et seulement si, $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=3$
alors
$(1-x)(3-x)+(2-y)(0-y)=3$
après développement et simplification :
$x²+y²-4x-2y=0$
je dis donc que $x²-4x=(x-2)²-4$ de même on a $y²-2y=(y-1)²-1$
donc cette équation devient :
$(x-2)²-4+(y-1)²-1=0$
d'où l'équation :
$(x-2)²+(y-1)²-5=0$
Là on a presque l'équation d'un cercle qui doit être de la forme :
$(x-a)²+(y-b)²=R²$
où (a;b) sont les coordonnées du centre et R le rayon de ce cercle.
C'es la question 4) qui semble fausse.
Bonne chance pour la suite, je vais ailleurs. -
Par conséquent (x-2)²+(y-1)²=5² et (2;1) sont les coordonnées du cercles et R=25
LA DEUXIEME QUESTION :: La nature de cet ensemble est un cercle de cordonnées 2 et 1 et de rayon R=25 EST CE BON SVP !!
CORDIALEMENT ! -
BONJOUR A TOUS ! J'ai un DM de maths mais je n'arrive pas mon exercice merci de votre aide voici le sujet :
Exo 1 :
Soit (O; un repére orthonormé. Et A(5;2) , B(3;4) et C(0;1)
1) a) Calculer le produit scalaire : vecteur AB. vectueur AC
b) Calculer les longuers AB et AC.
c) En déduire une valeur de l'angle (vecteur AB, vecteur AC)
2) Déterminer l'équation du cercle de diamétre [AB]
3) Déterminer l'équation de la droit (BC)
4) Déterminer l'équation de la hauteur issue de A du triangle ABC
5) Déterminer le réel k afin que le triangle ABD soit rectangle en A, avec D(1;k)
MERCI DE VOTRE AIDE !! -
1) a) b) facile, une fois trouvées les coordonnées des vecteurs.
c) Il suffit d'utiliser la formule du produit scalaire qui fait intervenir un cosinus : une bête division du produit scalaire de tes deux vecteurs par le produit des normes va te donner le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs, ce qui te permettra de retrouver l'angle.
2) Il suffit d'utiliser la propriété : un point M se trouve sur ce cercle si et seulement si : (M=A) ou (M=B) ou (M est différent de A et de B est ABM est rectangle en M) (propriété de 4e). Tout ceci peut se résumer en un simple produit scalaire qui doit être nul.
3) Avec ou sans le produit scalaire, facile (niveau collège). Version collège tu cherches le coefficient directeur puis tu trouves ensuite l'ordonnée à l'origine avec les coordonnées des points B et C
4) hauteur -> angle droit -> produit scalaire nul par exemple (toujours la même méthode)
5) encore pareil ? -
1) a) AB ( -1 ; 2 ) et AC (-5 ; -1 ) par conséquent AB.AC = -1*(-5)+2*-1 <=> AB.AC= 3
b) Comment calcule-t-on une longeur svp ?
c) la formule c'est AB.AC.cos(BAC) ?? -
Je pense avoir trouver donc je vous join mes reponses :
1 ) a ) On a A( 5 ; 2 ) , B( 3 ; 4 ) donc : AB ( -1 ; 2 ) et AC ( -5 ; -1 ) donc AB.AC = -1 * -5 + 2 * -1 = 3
b ) AB = || AB || = racine de ( (-1)² + 2² ) = racine de ( 5 )
AC = || AC || = racine de ( (-5)² + (-1)² ) = racine de ( 26 )
c ) On a : AB.AC = AB * AC * cos BAC
3 = raine de 5 * racine de 26 * cos BAC
donc cos BAC = 3 / (racine de (5*26) = 3 / racine de (130)
C'EST CORRECT ???? -
Réponse au message " Par conséquent (x-2)²+(y-1)²=5² et (2;1) sont les coordonnées du cercles et R=25",
Contrairement à un préjugé courant, $5$ est le carré de $\sqrt{5}$ et je pense que le cercle d'équation $(x-2)²+(y-1)²-5=0$ est le cercle de centre le point de coordonnées $(2,\,1)$ et de rayon $\sqrt{5}$.
Si je n'ai pas tout mélangé une fois de plus.
Pour le problème suivant, je te rappelle rapidement les principes~:
Longueur d'un vecteur $AB = \Vert \overrightarrow{AB} \Vert = \sqrt{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}}$.
Cosinus d'un angle~: $ \displaystyle \cos(\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC} ) = \frac{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}{ \Vert \overrightarrow{AB} \Vert \times \Vert \overrightarrow{AC} \Vert } $.
Cordialement. -
Quel message ??
-
Leila_ écrivait:
> Je pense avoir trouver donc je vous join mes
> reponses :
>
> 1 ) a ) On a A( 5 ; 2 ) , B( 3 ; 4 ) donc : AB (
> -1 ; 2 ) et AC ( -5 ; -1 ) donc AB.AC = -1 * -5 +
> 2 * -1 = 3
>
> b ) AB = || AB || = racine de ( (-1)² + 2² ) =
> racine de ( 5 )
> AC = || AC || = racine de ( (-5)² + (-1)²
> ) = racine de ( 26 )
>
> c ) On a : AB.AC = AB * AC * cos BAC
> 3 = raine de 5 * racine
> de 26 * cos BAC
> donc cos BAC = 3 / (racine de (5*26) =
> 3 / racine de (130)
>
> C'EST CORRECT ???? -
SVP
-
Bonsoir
Considérons les points A(5;2) , B(3;4) et C(0;1).
1) a) Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
D'une part, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A; y_B - y_A)$ donc $(3-5;4-2)$ soit $\fbox{(-2;2)}.$
D'autre part, le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(x_C - x_A; y_C - y_A)$ donc $(0-5;1-2)$ soit $\fbox{(-5;-1)}.$
On en tire donc que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = (-2) \times (-5) + 2 \times (-1) = 10 - 2 =8.$ Donc $\fbox{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 8.}$
b) Calculons les longueurs AB et AC.
$AB = \Vert \overrightarrow{AB} \Vert = \sqrt{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}}=\sqrt{ (-2) \times (-2) + 2 \times 2 }=\sqrt{ 8} $.
Donc $\fbox{AB =2\sqrt{2}.}$
Maintenant à toi de jouer !!! essaye de finir la question 1) -
Et AC = racine de 26 donc AC = 2racine de (13)
c ) On a cos (AB , AC ) = ( AB. AC ) / AB*AC
= racine de (2racine de(2) * 2racine de (13))
cos (AB ,AC) = 4 / racine de (6) d'ou cos (AB , AC ) = (2racine de 6) / 3
CORRECT ? -
$\fbox{AC =\sqrt{26}.}$
Ce qui termine le b). -
et pour le c) j'ai bon si je fait On a cos (AB , AC ) = ( AB. AC ) / AB*AC
= 8 / racine de (2racine de(2) * racine de 26 )
cos (AB ,AC) = 4 / racine de (52) d'ou cos (AB , AC ) = racine de 52 / 13
CORRECT ??? -
Tu parais assez "hard" en calcul~!
$AC = \sqrt{26}$ me semble correct, mais je n'irais pas plus loin.
$AB = \sqrt{8}$ pas de problème.
On aurait donc~:
$\displaystyle \cos(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}) = \frac{8}{\sqrt{8 \times 26}} = \frac{2 \, \sqrt{13}}{13} \simeq 0,5547001962$, ce qui donne un angle d'environ 0,9827937233 radians à un cheval près. -
Il reste les questions :
2) Déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB].
3) Déterminer l'équation de la droite (BC).
4) Déterminer l'équation de la hauteur issue de A du triangle ABC.
5) Déterminer le réel k afin que le triangle ABD soit rectangle en A, avec D(1;k). -
Comment détermine t on l'équation d'un cercle c'est (x-a)² + (y-b)² = R² ?
-
2) Dans ton cours, tu dois avoir que si deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ du cercle sont diamétralement opposés, alors M(x ; y) un point quelconque du plan appartient au cercle si et seulement si $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB} =0.$
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