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droites concourantes

Envoyé par danielsaada 
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Voici le même dessin fait avec Cabri.
Quand je serai de retour chez moi, j'expliquerai la façon dont je l'ai obtenu.
J'ai tracé le maximum de points liés au triangle $ABC$ se trouvant sur la cubique.
A vous de les deviner.


[attachment 19446 CubiqueNeuberg.gif]

Amicalement
Pappus
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Citation
danielsaada
Est-ce difficile de manipuler GeoGebra ?

Non, on le prend très facilement en main.
Et depuis que Bu nous a expliqué comment incorporer un applet java sur le forum...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Très belle figure! Je ne sais malheureusement pas répondre à la question de gb et attend la réponse avec intérêt.

Une remarque qui répond à une question que pappus posait plus haut:

Lorsque ABC est isocèle en A, la cubique de Neuberg est la réunion d'un cercle et d'une droite (cercle de centre A passant par B et C et hauteur issue de A)

Lorsque ABC est équilatéral, il n'y a plus de cubique puisque les droites AMa, BMb, CMc sont toujours concourantes (ou parallèles). Quelqu'un connait-il le nom de ce résultat?

Amicalement.
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Citation
Rescassol
Si M décrit la cubique de Neuberg, quel est le lieu du point de concours P obtenu ?
Et est ce que (MP) est toujours parallèle à la droite d'Euler, sinon quelle est son enveloppe ?

Lorsque M appartient à la cubique de Neuberg (voir une de mes figures précédentes), les symétriques orthogonaux Ma Mb et Mc forment un triangle en perspective avec le triangle initial.

Le centre de perspective P décrit une autre cubique (voir une de mes figures précédentes).

La droite (MP) reste parallèle à la droite d'Euler, et passe donc par l'isogonal de M.

L'axe de perspective reste perpendiculaire à la droite d'Euler.

Sur cet applet apparaissent la cubique de Neuberg, son asymptote, la droite d'Euler, la droite (MP) en bleu et l'axe de perspective, défini par l'alignement des points Ta, Tb et Tc, en vert. Pour des raisons techniques, la cubique est tracée en deux parties (chacune d'elles contient un bout de l'ovale et un bout de la serpentine), et le point M ne peut se déplacer que sur l'une d'elles.

<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="[www.geogebra.org];
width="912" height="607"mayscript="true">
<param name="ggbBase64" value="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"/>
<param name="image" value="[www.geogebra.org]; />
<param name="boxborder" value="false" />
<param name="centerimage" value="true" />
<param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" />
<param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" />
<param name="cache_version" value="3.2.46.0, 3.2.46.0, 3.2.46.0, 3.2.46.0, 3.2.46.0, 3.2.46.0" />
<param name="framePossible" value="false" />
<param name="showResetIcon" value="false" />
<param name="showAnimationButton" value="true" />
<param name="enableRightClick" value="false" />
<param name="errorDialogsActive" value="true" />
<param name="enableLabelDrags" value="false" />
<param name="showMenuBar" value="false" />
<param name="showToolBar" value="false" />
<param name="showToolBarHelp" value="false" />
<param name="showAlgebraInput" value="false" />
<param name="allowRescaling" value="true" />
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (<a href="[java.sun.com] here to install Java now</a>)
</applet>



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gb.
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Voici les figures proposées par emmanuelle:


[attachment 19448 CubiqueNeuberg1.gif]

La première correspond à un triangle isocèle $ABC$.
La cubique circulaire de Neuberg se décompose en une droite à savoir la médiatrice de $BC$ et le cercle de centre $A$ passant par $B$ et $C$.


[attachment 19449 CubiqueNeuberg2.gif]

Dans la seconde, le triangle $ABC$ est équilatéral et le lieu de $M$ est le plan tout entier!
En identifiant le plan au plan complexe via une similitude de façon que les affixes des points $A$, $B$, $C$ soient respectivement:
$a = 1$, $b = \jmath$, $c = \jmath^2$, on montre que l'affixe $z'$ de $M'$ est donné en fonction de l'affixe $z$ de $M$ par la formule:
$z' = \dfrac{2z+ \overline z^2}{4-z\overline z}$
Amicalement
Pappus
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonsoir,

Merci, kolotoko pour le lien vers le site de Bernard Gibert. J'ai de la lecture pour un certain temps.

gb: Cette appli Géogébra est très claire, mais pourrais tu dire comment tu as fait pour construire
la cubique de Neuberg et éventuellement joindre le fichier ggb zippé, à moins que quelqu'un sache
comment l'obtenir directement depuis le message sur le forum.

Cordialement,

Rescassol
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Voilà un fait qui était connu de Neuberg depuis 1884.
On note $\Gamma(ABC)$ la conique de Neuberg associée au triangle $ABC$
Soit $D \in \Gamma(ABC)$, alors $A \in \Gamma(BCD)$, $B \in \Gamma(ACD)$, $C \in \Gamma(ABD)$
Neuberg a appelé involutifs les quadrangles $ABCD$ vérifiant cette propriété.
Amicalement
Pappus
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonjour,

Pappus, dans le cas du triangle équilatéral, si je transforme le cercle circonscrit au triangle $ABC$ qui a pour équation $z\overline{z} = 1$ par ta transformation $z' = \displaystyle\frac{2z + \overline{z}^2}{4 - z\overline{z}}$, j'obtiens $z' = \displaystyle\frac{1}{3}\Big(2z + \frac{1}{z^2}\Big)$,
ce qui, en posant $z = e^{i\theta}$ donne la courbe en paramétriques : $ \begin{cases} x &=\frac{1}{3}\big(2\cos(\theta) + \cos(2\theta)\big) \\ y &= \frac{1}{3}\big(2\sin(\theta) + \sin(2\theta)\big) \end{cases}$
Cette courbe, qui ressemble à un limaçon de Pascal, possède un unique axe de symétrie, alors que le triangle équilatéral en possède 3.
N'y aurait-il pas une contradiction ?

Cordialement,
Rescassol
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Citation
Rescassol
pourrais tu dire comment tu as fait pour construire la cubique de Neuberg

Il suffit de tracer la cubique comme lieu des intersections d'une parallèle à la droite d'Euler avec sa conique isogonale.
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonjour,

C'est ce que j'ai essayé, mais pourquoi n'ai-je pas la cubique en entier ?
On peut bouger A,B,C, ainsi que D (parallèle à la droite d'Euler) en bougeant M sur D',
ce qui a pour effet de modifier D (en rouge) et sa conique isogonale (en vert).
On est censé avoir la cubique en magenta, mais il me manque des morceaux,
et pas toujours les mêmes quand D varie.
Où est le problème ?

[attachment 19452 Neuberg0.html]

Et il y a un truc que je n'ai pas compris pour joindre une applet Géogébra.

Cordialement,

Rescassol
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonjour,

Une droite et sa conique isogonale ont deux points d'intersection : la cubique est la réunion des lieux de chacun de ces deux points d'intersection.
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonjour,

Citation
gb
Une droite et sa conique isogonale ont deux points d'intersection : la cubique est la réunion des lieux de chacun de ces deux points d'intersection.

Bon sang, mais c'est bien sûr !
Merci gb, ça y est, ça marche.

Cordialement,

Rescassol
Re: droites concourrantes
il y a trois années
[attachment 19456 CubiqueNeuberg3.gif]

Voilà ce que dessine Cabri!
Amicalement
Pappus
Bu
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Avec Geogebra, "Eppur si muove" !". Enfoncé, Cabri ;).

<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="[www.geogebra.org];
width="594" height="511" mayscript="true">
<param name="ggbBase64" value="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"/>
<param name="image" value="[www.geogebra.org]; />
<param name="boxborder" value="false" />
<param name="centerimage" value="true" />
<param name="java_arguments" value="-Xmx512m" />
<param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" />
<param name="cache_version" value="3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0" />
<param name="framePossible" value="false" />
<param name="showResetIcon" value="true" />
<param name="showAnimationButton" value="true" />
<param name="enableRightClick" value="false" />
<param name="errorDialogsActive" value="true" />
<param name="enableLabelDrags" value="false" />
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<param name="allowRescaling" value="true" />
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (<a href="[java.sun.com] here to install Java now</a>)
</applet>
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonsoir,

Ok, j'avais fait une bête erreur de calcul:
Les bonnes équations sont $ \begin{cases} x &=\frac{1}{3}\big(2\cos(\theta) + \cos(2\theta)\big) \\ y &= \frac{1}{3}\big(2\sin(\theta) - \sin(2\theta)\big) \end{cases}$ au lieu de $ \begin{cases} x &=\frac{1}{3}\big(2\cos(\theta) + \cos(2\theta)\big) \\ y &= \frac{1}{3}\big(2\sin(\theta) + \sin(2\theta)\big) \end{cases}$
Comme quoi, il n'y a pas loin de l'astroïde au limaçon :)

Cordialement,

Rescassol
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Mon cher Bu
Bravo et bravissimo!
Je sais qu'on peut faire la même chose avec CabriJava mais ma trop grande paresse informatique m'a empêché de le faire.
Je vais essayer de me mettre à Geogebra et de profiter de tes conseils mais pour le moment ce n'est qu'un voeu pieux!
Ce serait bien de faire tout le tour de mes messages et d'en exhiber les animations!
Il y a une animation que j'ai su faire avec Cabri à grands coups de points conditionnels mais que malheureusement je ne pourrai jamais exhiber sur le forum, c'est ce qu'on appelle en anglais le $3$-bar.
C'est un système articulé formé de trois tiges: $AB$ + $BC$ + $CD$, les points $A$ et $D$ étant fixes.
Il s'agit de faire bouger la tige $BC$ dans toutes les positions qu'elle peut prendre et d'une façon plus générale d'étudier le mouvement d'un point $M$, fixe par rapport à $BC$ c'est à dire tel que le triangle $BMC$ reste isométrique à un triangle donné.
Si tu arrives à faire cette animation, j'abandonne la géométrie pour me consacrer à la théorie des modules!
Très amicalement
Pappus
Re: droites concourrantes
il y a trois années
[attachment 19461 troisbarre.gif]

Le point $M$ est attaché à 3 systèmes articulés, des $3$-bars, l'un bleu d'extrémités $A$ et $B$, le second rouge d'extrémités $B$ et $C$, le troisième vert d'extrémités $C$ et $A$.
Toutes les tiges sont de mêmes longueurs et dans chaque système, le point $M$ est rattaché à la tige du milieu, appelée la bielle (les deux autres étant les manivelles), de façon à former avec elle un triangle équilatéral.
J'arrive à animer tout ce fourbi avec Cabri au moyen d'un point "paramètre" que j'ai caché pour des raisons esthétiques.
C'est très spectaculaire de voir se déhancher sur l'écran les trois systèmes pendant que le point $M$ parcourt sa trajectoire tout tranquillement.
En faisant varier la dimension du triangle équilatéral $ABC$, on peut voir la trajectoire de $M$ se déformer de façon surprenante.
Je suis un peu triste de ne pouvoir faire partager cette animation à nos amis du forum, alors si tu arrives à faire la même chose avec geogebra et à en tirer une belle applet, je serais le plus heureux des vieuzés de ma toundra!
Très amicalement
Pappus
Bu
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Tu peux te mettre à la théorie des modules, pappus ! :D
Je ne mets pas l'applet ici pour ne pas trop charger la barque, mais tu perux le voir en suivant ce lien.
Amicalement.
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Je vous joins en PDF un document émant de Michel Collet.
[attachment 19472 UneCubiqueassocieuntriangle.pdf]
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Merci Bu, je suis un peu époustouflé!
Cet applet est bien de toi?
Quand je songe au mal que je m'étais donné avec Cabri en essayant de digérer et de comprendre les livres de Cuppens!
Mais peux-tu me confirmer qu'avec un peu de pratique de geogebra, il n'y a pas de difficultés à la réaliser ou bien fait-il vraiment s'investir à fond dans ce logiciel avec des tas d'astuces et de macros à la clef?
En tout cas en aurais-je le temps avec ces maudits modules?
Je vais me contenter dans un premier temps de ceux définis sur un anneau principal avec $\Z$ pour commencer, cela m'aidera au moins à m'endormir en oubliant mon arthrose!
Amicalement
Pappus
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Bonsoir,

Citation
Pappus
Je vais me contenter dans un premier temps de ceux définis sur un anneau principal avec pour commencer

A ce propos, un théorème intéressant:

Le théorème "Tout sous A-module d'un A-module de rang fini n est lui aussi de rang fini m <= n"
est vrai si et seulement si A est principal.

Cordialement,

Rescassol
Re: droites concourrantes
il y a trois années
Merci, Rescassol!
C'est clair, tu veux la mort du vieux Pappus, même si tu as raison de penser qu'une bonne cure de modules ne pourrait me faire que du bien!
J'aurais été mieux à même de comprendre ce que Perrin nous a raconté hier sur les courbes elliptiques et leur application à la démonstration du grand théorème de Poncelet!
Très amicalement
Pappus
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