le sangaku de kolotoko

Très beau Sangaku !
J'ai une solution calculatoire, mais pas trop :
Je prends comme unité la longueur d'un côté du carré.
Dans un repère d'origine $A$ associé au carré, si je note $a$ l'abscisse du centre du petit cercle le plus proche de $A$, Al Kashi me permet d'obtenir : (Equation du 1er degré !) d'où La conclusion vient ensuite assez facilement.
Bravo pour ce bel énoncé.

Bonjour,

Emmanuelle a raison:
Si le côté du carré est 1, Al Kashi dans le triangle BCI donne:
$\displaystyle(1-r)^2=1+(1+r)^2-2(1+r)\frac{\sqrt{2}}{2}$
Donc $\displaystyle r=\frac{\sqrt{2}-1}{4-\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}-2}{14}$.
Puis $\displaystyle OI=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+r=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}=2\sqrt{2}r$.

Cordialement,

Rescassol

Amicalement.

Bonsoir,

Je n'avais pas prévu d'insister d'avantage sur cette construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés.
Le cas général est le célèbre "problème d'Apollonius" qui est assez compliqué (Googler, avec un peu de chance vous trouverez décrite en détail la solution de Gergonne, ou le paquet des 10 solutions "élémentaires")
Le problème se simplifie en remplaçant un ou plusieurs des trois cercles donnés par des droites (cercles de rayon infini) ou des points (cercles de rayon nul)
Il existe ainsi 10 variantes selon le type d'objet.

Ici on remplace par augmentation/diminution des rayons des 3 cercles donnés le problème avec trois cercles en un problème plus simple avec points et cercle(s).
Soient trois cercles donnés quelconques (A,R) (B,R') (C,R") en bleu (euh, la figure est avec R' = R" mais qu'importe)

pas la construction du cercle cherché (I,r) mais juste une démo des variations de rayons.

Et en plus ce problème là (Point, Point, Cercle) est dans notre cas (figure du message précédent) simplifié encore d'avantage car le cercle qui reste (C,2R) est centré sur la médiatrice AC des deux autres centres B et D.
Le point de contact du nouveau cercle cherché est alors aussi sur cette médiatrice, et ce cercle devient un simple cercle passant par trois points (= cercle circonscrit)

D'où la construction finale brute :
Construire le point T, intersection de la diagonale AC avec l'arc de centre C, et qui est évidement le point de contact du cercle cherché avec cet arc.
Construire le point P avec TP = CT = R, et qui est donc le point de contact du cercle dilaté dans le problème transformé (point B, point D, cercle(C, R+R))
(la diagonale AC étant la médiatrice de BD, on est dans le cas décrit ci dessus !)

Le point I est ainsi le centre du cercle circonscrit à PBD, que l'on obtient comme intersection de la médiatrice AC de BD et de la médiatrice de PB, perpendiculaire en le milieu M de PB.

Comme on connait alors le centre I et le point de contact T, le cercle cherché final est déterminé.

Amicalement.

Merci pour cette applet qui aide à bien voir comment ça marche.
Mais je ne comprends tjs pas pourquoi I est fixe dans cette transformation.
Qui a découvert cette méthode, et comment s'explique-t-elle?
Cordialement.