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le sangaku de kolotoko(2)

Envoyé par kolotoko 
kolotoko
le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonjour

Soit un carré ABCD surmonté d'un triangle équilatéral DCE.
AE coupe DB en J et coupe DC en F.
BE coupe AC en H et coupe DC en G .
Les deux diagonales AC et DB du carré se coupent en I .

Montrer que l'aire du pentagone étoilé AJDFEGCHBI vaut 7 fois l'aire du triangle AJD.
Montrer que : Aire de FGHIJ / Aire DFE = 5/3

Bien cordialement
kolotoko
[attachment 19850 sangaku2.png]

[Avec une figure, c'est plus attirant. ;) AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.


Re: le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonjour,

Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$, on a successivement :
$A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$, $D(1;0)$, $\displaystyle I\left(\frac{1}{2};\displaystyle \frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle E\left(\frac{1}{2};1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$(AE): y=(2+\sqrt{3})x$ , $(BD):x+y=1$.
$F(2+\sqrt{3};1)$ , $\displaystyle J\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6};\frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)$.
$\displaystyle \mathrm{Aire}(AJD)=\frac{1}{2}\det(\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AD})=\frac{3-\sqrt{3}}{12}$ ,
$\displaystyle \mathrm{Aire}(ABE)=\frac{2+\sqrt 3}{4}$ et $\displaystyle \mathrm{Aire}(ABI)=\frac{1}{4}$
$\displaystyle \overrightarrow{DF}(2-\sqrt 3;0)$ et $\displaystyle \overrightarrow{DJ}\left(\frac{3-\sqrt 3}{6};\frac{-3+\sqrt 3}{6}\right)$ donc $\displaystyle \mathrm{Aire}(DJF)=\frac{9-5\sqrt{3}}{12}$
Enfin:\\
$\mathrm{Aire}(AJDFEGCHBI)=\mathrm{Aire}(ABE)-\mathrm{Aire}(ABI)+2 . \mathrm{Aire}(DJF)=$
$\displaystyle \frac{2+\sqrt 3}{4}-\frac{1}{4}+2 \cdot \frac{9-5\sqrt{3}}{12} = \frac{21-7\sqrt{3}}{12}=7 \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{12}=7 \cdot \mathrm{Aire}(AJD)$
Je sais, ce n'est pas beau du tout.

Cordialement,
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonsoir,

reste encore la deuxième relation.

Beau ? pas beau ? l'important est d'arriver au résultat .

Bien cordialement

kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonsoir,

Bon, on a $\overrightarrow{DF}(2-\sqrt{3};0)$ et $\displaystyle\overrightarrow{DE}\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, donc $\displaystyle\mathrm{Aire}(DFE)=\frac{2\sqrt{3}-3}{4}$.
Puis $\displaystyle\overrightarrow{AI}\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ et $\displaystyle\overrightarrow{AJ}\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6};\frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)$, donc $\displaystyle\mathrm{Aire}(AIJ)=\frac{\sqrt{3}}{12}$.
Enfin $\displaystyle\overrightarrow{EF}\left(\frac{3-2\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et $\displaystyle\overrightarrow{EG}\left(\frac{2\sqrt{3}-3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ car $G(\sqrt{3}-1;1)$
donc $\displaystyle\mathrm{Aire}(EFG)=\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$.
Et on obtient $\mathrm{Aire}(FGHIJ)=\mathrm{Aire}(ABE) - \mathrm{Aire}(ABI) - \mathrm{Aire}(EFG) - 2 \cdot \mathrm{Aire}(AIJ)=$
$\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{6-3\sqrt{3}}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{10\sqrt{3}-15}{12} = \frac{5}{3}\cdot \frac{2\sqrt{3}-3}{4} = \frac{5}{3}\cdot \mathrm{Aire}(DFE)$.

Cordialement,
Rescassol

[Le forum gère les passages à la ligne, différemment de LaTeX. Evite de terminer les lignes par \verb=\\=. AD]
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonjour,

bravo.


On pouvait faire plus simplement sur la fin avec : Aire(FGHIJ) = 1/4 - 2.Aire(DJF).

On peut dessiner cette figure d'un seul trait sans repasser deux fois sur le même segment.

Bien cordialement

kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonjour,

C'est vrai, je ne suis pas allé au plus simple.

Je ne sais pas si ça peut servir à trouver une solution purement géométrique, mais on peut remarquer que $(DH)$ est la médiatrice de $[AE]$ et $(CJ)$ celle de $[BE]$

Ces deux médiatrices se coupent en $M$ tel que $ABM$ est équilatéral.

On retrouve le triangle $AJD$ à divers endroits. De là à trouver un découpage .....

Cordialement,

Rescassol
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko(2)
il y a huit années
Bonsoir,

oui, bien sûr, M est le centre du cercle circonscrit de AEB , de rayon 1.

C'est aussi le cercle circonscrit de FGHJ et un des centres des cercles exinscrits de IJA et de IHB.

M est aussi le symétrique de D par rapport à AE et le symétrique de C par rapport à EB.

Bien cordialement

kolotoko
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