le sangaku de kolotoko(2)

Bonjour,

Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$, on a successivement :
$A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$, $D(1;0)$, $\displaystyle I\left(\frac{1}{2};\displaystyle \frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle E\left(\frac{1}{2};1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$(AE): y=(2+\sqrt{3})x$ , $(BD):x+y=1$.
$F(2+\sqrt{3};1)$ , $\displaystyle J\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6};\frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)$.
$\displaystyle \mathrm{Aire}(AJD)=\frac{1}{2}\det(\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AD})=\frac{3-\sqrt{3}}{12}$ ,
$\displaystyle \mathrm{Aire}(ABE)=\frac{2+\sqrt 3}{4}$ et $\displaystyle \mathrm{Aire}(ABI)=\frac{1}{4}$
$\displaystyle \overrightarrow{DF}(2-\sqrt 3;0)$ et $\displaystyle \overrightarrow{DJ}\left(\frac{3-\sqrt 3}{6};\frac{-3+\sqrt 3}{6}\right)$ donc $\displaystyle \mathrm{Aire}(DJF)=\frac{9-5\sqrt{3}}{12}$
Enfin:\\
$\mathrm{Aire}(AJDFEGCHBI)=\mathrm{Aire}(ABE)-\mathrm{Aire}(ABI)+2 . \mathrm{Aire}(DJF)=$
$\displaystyle \frac{2+\sqrt 3}{4}-\frac{1}{4}+2 \cdot \frac{9-5\sqrt{3}}{12} = \frac{21-7\sqrt{3}}{12}=7 \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{12}=7 \cdot \mathrm{Aire}(AJD)$
Je sais, ce n'est pas beau du tout.

Cordialement,

Bonsoir,

Bon, on a $\overrightarrow{DF}(2-\sqrt{3};0)$ et $\displaystyle\overrightarrow{DE}\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, donc $\displaystyle\mathrm{Aire}(DFE)=\frac{2\sqrt{3}-3}{4}$.
Puis $\displaystyle\overrightarrow{AI}\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ et $\displaystyle\overrightarrow{AJ}\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6};\frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)$, donc $\displaystyle\mathrm{Aire}(AIJ)=\frac{\sqrt{3}}{12}$.
Enfin $\displaystyle\overrightarrow{EF}\left(\frac{3-2\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et $\displaystyle\overrightarrow{EG}\left(\frac{2\sqrt{3}-3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ car $G(\sqrt{3}-1;1)$
donc $\displaystyle\mathrm{Aire}(EFG)=\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$.
Et on obtient $\mathrm{Aire}(FGHIJ)=\mathrm{Aire}(ABE) - \mathrm{Aire}(ABI) - \mathrm{Aire}(EFG) - 2 \cdot \mathrm{Aire}(AIJ)=$
$\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{6-3\sqrt{3}}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{10\sqrt{3}-15}{12} = \frac{5}{3}\cdot \frac{2\sqrt{3}-3}{4} = \frac{5}{3}\cdot \mathrm{Aire}(DFE)$.

Cordialement,
Rescassol

[Le forum gère les passages à la ligne, différemment de LaTeX. Evite de terminer les lignes par \verb=\\=. AD]

Bonjour,

C'est vrai, je ne suis pas allé au plus simple.

Je ne sais pas si ça peut servir à trouver une solution purement géométrique, mais on peut remarquer que $(DH)$ est la médiatrice de $[AE]$ et $(CJ)$ celle de $[BE]$

Ces deux médiatrices se coupent en $M$ tel que $ABM$ est équilatéral.

On retrouve le triangle $AJD$ à divers endroits. De là à trouver un découpage .....

Cordialement,

Rescassol