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le sangaku de kolotoko (3)

Envoyé par kolotoko 
kolotoko
le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,

voici un exercice dans le style des énigmes japonaises :

Soient deux triangles rectangles isocèles ABC et ADE ayant pour seul point commun le point A .
ABC et ADE sont respectivement rectangle en B et D.
L'angle BAD vaut 30° .
Les droites CB, ED, CA, EA recoupent le cercle (C) de diamètre CE en respectivement F, G, H, I.
Soient C1 et C2 les cercles tangents intérieurement à (C) et tangents aux droites CF et EG.
Soit C3 le cercle tangent intérieurement à (C) , tangent à CH et EI et ne coupant pas les demi-carrés ABC et ADE .

Montrer que C1 , C2, C3 ont même rayon.

Bien cordialement
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,

Sur ma figure, ça ne marche pas.
Pas d'erreur d'énoncé ?
Sinon précise les choix à faire quand il y en a plusieurs (2).
[attachment 20051 Kolotoko04.PNG]
Cordialement,

Rescassol


kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonsoir,

mais oui, où ai-je la tête ?

ABC et ADE : deux triangles rectangles isocèles et isométriques .

Ouf, on respire !

Bien cordialement
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonsoir,

même avec cette nouvelle indication, je n'arrive pas à avoir une figure qui convienne, notamment les rayons de C1 et C2 sont visiblements différents. Voir la figure. Merci de me dire si j'ai raté quelque chose.

Aldo
[attachment 20060 sangakudekolotoko.jpg]


kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,

Excusez -moi !

Décidément, je m'exprime mal .

La figure d'Aldo nous montre les demis-carrés bien positionnés et le cercle C3.

Il y 4 cercles tangents intérieurement à (C) et aux droites CF et EG dont deux ayant même rayon que C3 ; le premier C1 qui touche le segment CB et le deuxième C2 qui touche le segment ED.

Bien cordialement

kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,

Pas d'idées pour la résolution, mais au moins les 3 cercles de Kolotoko avec leur construction (en vert) :
[attachment 20071 kolotoko3.gif]

La construction de C3 est très simple car il est homothétique de $\Gamma$ dans une homothétie de centre T
La construction de C1 (et C2) utilise une petite astuce : son centre est le même que celui d'un cercle tangent aux droites à distance R (=rayon de $\Gamma$) de CF et EG et passant par O, construction classique en tracant un cercle quelconque tangent à ces droites, et donc homothétique du cercle cherché (celui passant par O !) dans une homothétie de centre S.

Amicalement.
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,
merci chephip , on s'est enfin compris.

Bien cordialement
kolotoko
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Rebonjour,

Avec une figure légérement différente, mais conduisant au même résultat (symétrie par rapport au diamètre CE du problème d'origine)

[attachment 20076 kolotoko3b.gif]

Soit un demi-cercle ABCDEFG de rayon R partagé en 6 arcs égaux.
AE et CG se coupent en M
AF et BG se coupent en N
Montrer que les cercles inscrits dans les triangles curvilignes MCE, ABN et NFG ont même rayon r.

Calculons au préalable les distances OM et ON
$OM = R \tan(30) = R / \sqrt{3}$
$ON = R \tan(15) = R(2 - \sqrt{3})$ (détail du calcul de tan(15 deg) à partir de tan(30 deg) laissé au lecteur)

Calculons maintenant le rayon du cercle (MCE)
$r = d \sin(60) = (R - r - OM)\sin(60) = (R - r - OM)\sqrt{3}/2$
soit $r = (R - r - R / \sqrt{3}) \sqrt{3}/2$ et donc $r = R(3 \sqrt{3} - 5)$

Calculons le rayon du cercle (ABN) que nous appellerons aussi $r$ pour simplifier l'écriture, et évidemment égal au cercle (NFG) :
$r = d \sin(15)$
Ou plutôt $r^2 = d^2 \sin^2(15) = d^2 (1 - \cos(30))/2 = d^2 (2 - \sqrt{3})/4$
et $d^2 + ON^2 = (R - r)^2$
$r$ est donc solution de
$4 r^2 /(2 - \sqrt{3}) + R^2(2 - \sqrt{3})^2 = (R - r)^2$
dont on vérifie qu'une solution est bien $r = R(3 \sqrt{3} - 5)$

Bon euh bof.. calculs... calculs... mais on est bien dans l'esprit traditionnel des sangaku
(les solutions proposées des divers sangaku sont bourrées de calculs de ce genre).

Amicalement.
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour !

Je n'ai pas encore lu en détail les messages échangé dans cette discussion, mais j'ai déjà une question :
Quel logiciel utilisez-vous pour effectuer des constructions géométriques claires simplement ? (si vous en connaissez qui fonctionnent sur Mac, notamment...)

Merci !
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,
Citation
Victor
Quel logiciel utilisez-vous pour effectuer des constructions géométriques claires simplement ?

Ma figure dans un message précédent est faite avec Géogébra qui fonctionne
aussi bien sur Windows XP que j'ai, que sur divers linux et sur Mac OS X.
En plus, il est gratuit.

Sniff, Chephip a été plus rapide que moi sur ce coup là. J'avais le centre et le rayon de $C_3$
et j'en étais au calcul de $P$.

Cordialement,

Rescassol
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Bonjour,

Est-ce une coïncidence que $\displaystyle \widehat{UOV}=180- \mathrm Arccos\left(\frac{1}{3}\right)$ soit l'angle diédral de l'octaèdre (on doit le retrouver aussi quelque part dans le tétraèdre) ?

Cordialement,

Rescassol
Re: le sangaku de kolotoko (3)
il y a huit années
Citation
victor
Quel logiciel utilisez-vous pour effectuer des constructions géométriques claires simplement ? (si vous en connaissez qui fonctionnent sur Mac, notamment...)

En dehors de l' "incontournable" Geogebra, ce n'est pas les logiciels qui manquent.
[www.geogebra.org]

Citons en vrac :
- celui que j'utilise régulièrement pour faire des figures "sans prétention" (= quand c'est relativement simple) est un très vieux logiciel (pour Windows 3.1 !) simplement de dessin vectoriel "ordinaire".
Dessins vectoriels que j'exporte dans Paint pour en faire des .gif, mais pas de version "moderne".
(ne marche plus sur les Windows > 98)

- Declic est très simple, mais lui aussi pour Windows il me semble
[declic.softonic.fr]

- C.A.R. (en VO) ou Carmetal (adaptation en Fr + qques gadgets supplémentaires) sont écrits en Java, donc fonctionnent quel que soit l'OS
[zirkel.sourceforge.net]
[db-maths.nuxit.net]

- Geometer's Sketchpad permet de faire des dessins dynamiques extrèmement "légers" pour inclure dans des pages Web, mais a l'inconvénient d'être payant, tout au moins l'interface graphique de conception.
[www.dynamicgeometry.com]

Parmi ceux que j'ai essayé et utilise +/- régulièrement.

Amicalement.
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