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la sangaku de kolotoko (5)

Envoyé par kolotoko 
kolotoko
la sangaku de kolotoko (5)
il y a huit années
Bonsoir,

voici un exercice de géométrie élémentaire nécessitant quelques calculs :

Soit ABCD un losange inscrit dans le cercle (C) de diamètre AC (la grande diagonale) .
AB , BC, CD, DA recoupent respectivement le cercle (C) en E, F, G, H.
On trace les cercles inscrits dans les triangles curvilignes ABF, FBE, EBC, CDH, HDG, GDA .

Trouver la forme du losange pour que ces six cercles inscrits aient même rayon .

Bien cordialement
kolotoko
Re: la sangaku de kolotoko (5)
il y a huit années
Bonjour,

[attachment 20147 kolotoko5.gif]

(en vert la construction géométrique des cercles inscrits)
Et les mêmes équations que précédemment.

$OD = R \tan(t)$
$DJ = r / \sin(t)$
$OJ^2 = (R - r)^2 = DJ^2 + OD^2 = R^2 \tan^2(t) + r^2 / \sin^2(t)$
$DI = R - r - OD = R - r - R \tan(t) = r / \cos(t)$

L'élimination de $k = r/R$ entre ces deux équations donne une équation en t dont la résolution numérique fournit
t = 24.7182497566 deg
et pour un rayon R = AC/2 = 1
côté AB = 1.10086689258, diagonale BD = 0.920669137461
et r = 0.25687749813

Ce qui à première vue ne semble pas particulièrement remarquable.

Amicalement.
kolotoko
Re: la sangaku de kolotoko (5)
il y a huit années
Bonsoir,

je n'ai pas trouvé ces valeurs, pour t, r, AB et BD.

Bien cordialement
kolotoko
Re: la sangaku de kolotoko (5)
il y a huit années
Moi non plus finalement, après vérification et correction d'une erreur de signe :

t = 25.3902606213 deg
AC = 1, AB = 1.10691934038, BD = 0.949253235125, r = 0.249356191464

Cordialement.
kolotoko
Re: la sangaku de kolotoko (5)
il y a huit années
Bonjour,

oui, je suis d'accord avec ces nouvelles valeurs.

L'angle t est l'angle vérifiant tan(t)*tan(t) = tan (t/2) .

Voici une construction approchée du losange :
Tracer un cercle de centre O et de diamètre AC = 20 (donc de rayon 10) .
Tracer les cercles C1 et C2 de rayon 3 et dont les centres O1 et O2 situés sur AC vérifient AO1 = CO2 = 7.
Les tangentes issues de A à C1 et les tangentes issues de C à C2 donnent les côtés du losange .
En effet , dans cette construction, l'angle t du losange obtenu vérifie : t = Arcsin(3/7) = 25,37693353 deg .

Bien cordialement
kolotoko
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