Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
254 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Application tangente

Envoyé par KeiOh 
KeiOh
Application tangente
il y a huit années
Bonjour.

J'avance doucement dans la géométrie différentielle en utilisant un livre de M. Do Carmo (en anglais). Au chapitre sur les variétés différentielles, l'approche est "plus élémentaire" que par exemple le cours de Paulin, dans le sens où il ne définit une variété que par paramétrage et cela suffit pour élaborer la théorie de base. Chaque fois que je termine un chapitre du bouquin, je vais voir sur le poly pour la "traduction" en terme un peu plus avancés.

Mon premier souci arrive à la définition de la différentielle d'une application entre 2 variétés. En effet, je n'arrive pas à écrire proprement que la définition de la différentielle (en un point $p$) ne dépend pas du choix de la courbe sur la variété de départ. Si j'en choisis 2, $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha(0) = \beta(0) = p$ et si $\varphi$ est l'application entre 2 variétés, il faudrait (je pense) montrer que $(\varphi \circ \alpha)'(0) = (\varphi \circ \beta)'(0)$, avec la condition (je suppose) que $\alpha'(0) = \beta'(0) = v$, $v$ le vecteur tangent. J'ai l'impression de ne pas bien saisir ce qui se passe "en coordonnées" alors que, "avec les mains", je vois bien que tout a été fait pour que ça marche (comme tout le reste d'ailleurs).

Il est suggéré de prendre des cartes locales autour du point et de son image. Mettons donc que $(U, f)$ est une carte locale autour de $p$ dans M une variété de dimension n et $(V, g)$ une carte locale autour de $\varphi(p)$ dans M' une variété de dimension m. J'écris $f^{-1} \circ \alpha(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t))$, et $f^{-1} \circ \beta(t) = (y_1(t), \dots, y_n(t))$ dans U. J'obtiens après : $$
(\varphi \circ \alpha)'(0) = \sum x_i'(0) \partial_{x_i} \varphi (0)
$$ Et la même chose pour $\beta$ avec des $y_i$. A ce moment je suis dans M' sur ma feuille, et en vrai je suis paumé. C'est dommage parce que montrer que $D\varphi$ est effectivement linéaire semble n'être qu'une application de la règle de dérivation des applications composées, et qu'après le chapitre est terminé (il y a l'exemple du la structure de variété du fibré tangent et la définition des formes différentielles sur une variété, qui ne posent pas tellement de problème si j'admets le point ennuyant).

Si vous aviez des indices pour régler ce petit ennui, ce serait tip top :).En attendant, je démarre l'intégration sur les variétés.
KeiOh
Re: Application tangente
il y a huit années
Euh hum, j'ai eu une idée quasiment dès que je suis revenu sur ma feuille, j'ai dit que j'avais la condition $\alpha'(0) = \beta'(0)$, mais je n'en étais pas sûr. Si j'admets ça un instant, en fait, quand je passe en coordonnées j'obtiens :
\begin{align*}
\sum x_i'(0) \partial_{x_i} \varphi &= \alpha'(0) \cdot \varphi \\
\sum y_i'(0) \partial_{x_i} \varphi &= \beta'(0) \cdot \varphi
\end{align*}
avec la convention de regarder ici $\alpha'(0)$ et $\beta'(0)$ comme des opérateurs sur l'ensemble des fonctions différentiables sur $M$. Comme ils sont égaux, les deux lignes ci-dessus sont égales et c'est fini. Il me reste juste à m'assurer que j'ai cette condition (disons, que si je ne l'ai pas il n'y a pas d'intérêt).
Re: Application tangente
il y a huit années
Mon cher KeiOh
Je pense que la principale difficulté dans la définition de l'application linéaire tangente en un point est déjà de comprendre ce qu'est un vecteur tangent.
Il y autant de définitions de l'application linéaire tangente que de définitions (équivalentes) d'un vecteur tangent et il reste à montrer ensuite qu'elles sont elles aussi équivalentes.
D'ailleurs quand on veut montrer telle ou telle propriété de l'application linéaire tangente, il est utile de savoir choisir entre ses diverses définitions.
Amicalement
Pappus
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 718, Messages: 1 322 064, Utilisateurs: 24 178.
Notre dernier utilisateur inscrit Chap1nico.


Ce forum
Discussions: 8 051, Messages: 92 189.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page