Application tangente

Bonjour.

J'avance doucement dans la géométrie différentielle en utilisant un livre de M. Do Carmo (en anglais). Au chapitre sur les variétés différentielles, l'approche est "plus élémentaire" que par exemple le cours de Paulin, dans le sens où il ne définit une variété que par paramétrage et cela suffit pour élaborer la théorie de base. Chaque fois que je termine un chapitre du bouquin, je vais voir sur le poly pour la "traduction" en terme un peu plus avancés.

Mon premier souci arrive à la définition de la différentielle d'une application entre 2 variétés. En effet, je n'arrive pas à écrire proprement que la définition de la différentielle (en un point $p$) ne dépend pas du choix de la courbe sur la variété de départ. Si j'en choisis 2, $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha(0) = \beta(0) = p$ et si $\varphi$ est l'application entre 2 variétés, il faudrait (je pense) montrer que $(\varphi \circ \alpha)'(0) = (\varphi \circ \beta)'(0)$, avec la condition (je suppose) que $\alpha'(0) = \beta'(0) = v$, $v$ le vecteur tangent. J'ai l'impression de ne pas bien saisir ce qui se passe "en coordonnées" alors que, "avec les mains", je vois bien que tout a été fait pour que ça marche (comme tout le reste d'ailleurs).

Il est suggéré de prendre des cartes locales autour du point et de son image. Mettons donc que $(U, f)$ est une carte locale autour de $p$ dans M une variété de dimension n et $(V, g)$ une carte locale autour de $\varphi(p)$ dans M' une variété de dimension m. J'écris $f^{-1} \circ \alpha(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t))$, et $f^{-1} \circ \beta(t) = (y_1(t), \dots, y_n(t))$ dans U. J'obtiens après : $$
(\varphi \circ \alpha)'(0) = \sum x_i'(0) \partial_{x_i} \varphi (0)
$$ Et la même chose pour $\beta$ avec des $y_i$. A ce moment je suis dans M' sur ma feuille, et en vrai je suis paumé. C'est dommage parce que montrer que $D\varphi$ est effectivement linéaire semble n'être qu'une application de la règle de dérivation des applications composées, et qu'après le chapitre est terminé (il y a l'exemple du la structure de variété du fibré tangent et la définition des formes différentielles sur une variété, qui ne posent pas tellement de problème si j'admets le point ennuyant).

Si vous aviez des indices pour régler ce petit ennui, ce serait tip top .En attendant, je démarre l'intégration sur les variétés.