orthopôle

Bonjour Pappus et à tous
qu'entendez-vous par le truc de Morley?
Sincèrement
Jean-Louis

Cher pappus

Serait il possible d'avoir quelques exercices illustrant ton affirmation "Le truc de Morley est particulièrement bien adapté à l'étude de l'orthopôle!".

Bonjour

Pappus a écrit:

Ta belle formule mérite une démonstration.

Pas de problème, voilà:

Le projeté orthogonal de $A$ sur $L$ est $\displaystyle a_1=\frac{ua-\overline{u}\overline{a}-w}{2u}$ et permutation circulaire.

Une équation de $(BC)$ est $\displaystyle pz+q\overline{z}+r=0$ avec $\displaystyle p=\overline{b}-\overline{c}$, $q=c-b$ et $\displaystyle r=b\overline{c}-c\overline{b}$.

Le projeté orthogonal de $A_1$ sur $(BC)$ est $\displaystyle a_2=\frac{pa_1-q\overline{a_1}-r}{2p}$ et permutation circulaire.

Une équation de $(A_1A_2)$ est $\displaystyle lz+m\overline{z}+n=0$ avec $\displaystyle l=\overline{a_1}-\overline{a_2}$, $m=a_2-a_1$ et $\displaystyle n=a_1\overline{a_2}-a_2\overline{a_1}$.

On trouve :

$\displaystyle l=\frac{-auw+a^2u^2-2abu^2-2acu^2+bcu^2-a^2bcu^4-s_3u^3\overline{w}-1}{4s_3u^2}$

$\displaystyle m=\frac{auw-a^2u^2+2abu^2+2acu^2-bcu^2+a^2bcu^4+abcu^3\overline{w}+1}{4au^2}$

$\displaystyle n=\frac{(auw - a^2u^2 + 2abu^2 + 2acu^2 - bcu^2 + a^2bcu^4 + s_3u^3\overline{w} + 1)(bca^2u^4 + a^2u^2 + s_3u^3\overline{w} - wau - bcu^2 - 1)}{8a^2bcu^4}$

et permutation circulaire.

Le déterminant des coefficients de ces trois droites est nul, donc elles sont concourantes.

On résout les sytème formé par deux d'entre elles en éliminant $\displaystyle \overline{z}$ comme d'habitude et on obtient l'orthopôle de $L$: $\displaystyle \omega=\frac{s_1u+s_3u^3-w}{2u}$.


Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Pappus a écrit:

Comment peux tu faire des calculs aussi monstrueux sans craindre de te tromper!
Voilà un grand mystère!

Je peux me tromper, et je me trompe quelquefois, comme tout le monde.
Mais Matlab se trompe moins souvent que moi

Voilà le script pour l'orthopôle, j'ai pris soin d'y inclure deux vérifications:
(Et c'est ce script qui me répond la formule de l'orthopôle de mon message précédent).

clc, clear all, close all

\% Calcul de l'orthopôle de la droite (D) par rapport au triangle ABC:

syms u; \% Droite (D)
syms v;
syms w;

syms uB; \% Conjugués (B comme "barre")
syms vB;
syms wB;

syms a; \% Sommets de ABC
syms b;
syms c;

syms aB; \% Conjugués
syms bB;
syms cB;

aB=1/a; \% Cas particulier:
bB=1/b; \% A,B,C sur le cercle unité
cB=1/c;

uB=1/u; \% Cas particulier:
v=uB; \% u de module 1, u et v conjugués l'un de l'autre
vB=u;

a1=(u*a-v*aB-w)/(2*u); \% Projeté orthogonal de A sur (D)
a1B=(uB*aB-vB*a-wB)/(2*uB);

b1=(u*b-v*bB-w)/(2*u); \% Projeté orthogonal de B sur (D)
b1B=(uB*bB-vB*b-wB)/(2*uB);

c1=(u*c-v*cB-w)/(2*u); \% Projeté orthogonal de C sur (D)
c1B=(uB*cB-vB*c-wB)/(2*uB);

pa=bB-cB; \% Droite (BC)
qa=c-b;
ra=b*cB-c*bB;

paB=b-c; \% Conjugués
qaB=cB-bB;
raB=-ra;

pb=cB-aB; \% Droite (CA)
qb=a-c;
rb=c*aB-a*cB;

pbB=c-a; \% Conjugués
qbB=aB-cB;
rbB=-rb;

pc=aB-bB; \% Droite (AB)
qc=b-a;
rc=a*bB-b*aB;

pcB=a-b; \% Conjugués
qcB=bB-aB;
rcB=-rc;

a2=(pa*a1-qa*a1B-ra)/(2*pa); \% Projeté orthogonal de A1 sur (BC)
a2B=(paB*a1B-qaB*a1-raB)/(2*paB);

b2=(pb*b1-qb*b1B-rb)/(2*pb); \% Projeté orthogonal de B1 sur (CA)
b2B=(pbB*b1B-qbB*b1-rbB)/(2*pbB);

c2=(pc*c1-qc*c1B-rc)/(2*pc); \% Projeté orthogonal de C1 sur (AB)
c2B=(pcB*c1B-qcB*c1-rcB)/(2*pcB);

la=factor(a1B-a2B) \% Droite (A1A2)
ma=factor(a2-a1)
na=factor(a1*a2B-a2*a1B)

lb=factor(b1B-b2B) \% Droite (B1B2)
mb=factor(b2-b1)
nb=factor(b1*b2B-b2*b1B)

lc=factor(c1B-c2B) \% Droite (C1C2)
mc=factor(c2-c1)
nc=factor(c1*c2B-c2*c1B)

M=[la ma na; lb mb nb; lc mc nc];

NUL=factor(det(M)) \% Doit être nul (droites concourantes)

Numab=factor(na*mb-nb*ma)
Denab=factor(la*mb-lb*ma)

zab=factor(-Numab/Denab) \% Point d'intersection de (A1A2) et (B1B2)

Numbc=factor(nb*mc-nc*mb)
Denbc=factor(lb*mc-lc*mb)

zbc=factor(-Numbc/Denbc) \% Point d'intersection de (B1B2) et (C1C2)

NUL=factor(zab-zbc) \% Doit être nul (c'est le même point: l'orthopôle)

Cordialement,

Rescassol

[Evidemment, \LaTeX\ et \% font assez mauvais ménage. Bruno]

Bonsoir,

Pappus a écrit:

Par contre, il ne faut pas oublier de mentionner que $w$ est réel!

Ce n'est pas nécessaire, $\displaystyle \overline{w}$ se simplifie dans mes calculs.
Pour le reste, à demain.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour Rescassol

Merci beaucoup pour ce script.

Pappus, tu forces l'ouverture du fichier par n'importe quel éditeur de texte moins simpliste que le bloc-note comme, par exemple, wordpad après avoir dézipé le dossier par la procédure "tout extraire" qui s'active par un clic droit sur l'icône.

Bruno

Bonjour

Pappus, pour ton application affine $f$, je trouve :
$\displaystyle u=\frac{m\overline{m'}-1}{m\overline{m}-1}$
$\displaystyle v=\frac{s_3(\overline{m}-\overline{m'})}{m\overline{m}-1}$
$\displaystyle w=\frac{(\overline{m}-\overline{m'})(-s_2+s_1m-s_3\overline{m})+m(\overline{m}m'-m\overline{m'})+(m-m')}{2(m\overline{m}-1)}$

Es tu d'accord ?

Cordialement,
Rescassol

PS. Je joins le script pour Bouzar. Il suppose a,b,c, déjà définis de modules 1 comme d'habitude.

Bonjour

Merci Rescassol pour ce script.

Voilà je voulais soumettre au truc de Morley la démontration du théorème d'Erdös-Mordell qui dit en substance :

Soit M un point intérieur à un triangle ABC et soit PQR le triangle podaire de M par rapport à ABC. Alors, on a

$MA + MB + MC \geq 2(MP + MQ +MR).$

De plus l'égalité n'est atteinte que si et seulement si le triangle est équilatéral.

Bonjour,

Pappus a écrit:

Montrer que $S$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABC$

Je trouve $\displaystyle s=-s_3u^2$, qui est bien sur le cercle circonscrit de $ABC$.

J'ai montré ailleurs que la droite de Simson de $M(m)$ avait pour équation $\displaystyle (\overline{a_1}-\overline{b_1})z-(a_1-b_1)\overline{z}++a_1\overline{b_1}-b_1\overline{a_1}=0$
où $\displaystyle a_1= \frac{1}{2}(b+c+m-bc\overline{m})$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(BC)$ (et permutation circulaire).
Les deux premiers coefficients sont $\displaystyle 2s_3^2u^4$ et $\displaystyle 2s_3^2u^2$. Ils sont proportionnels à $u^2$ et $1$, donc à $u$ et $\displaystyle \overline{u}$. Donc, la droite de Simson de $S$ est bien parallèle à $L$.

Cordialement,
Rescassol

PS. Je joins le script pour Bouzar

Bonjour,

Pappus a écrit:

Il reste à vérifier ce que j'ai dit sur la droite de Simson de .$S$

J'ai modifié mon message précédent dans ce sens.

Pappus a écrit:

Il serait intéressant de voir les calculs qui t'ont permis de trouver l'affixe de $S$.

Tout bêtement $\displaystyle s=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+\beta+\gamma}$ avec $\displaystyle \alpha=\frac{b-c}{bcu^2+1}$ et permutation circulaire.
C'est ce qu'il y a dans le script Matlab.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Bouzar, je suppose que tu voulais écrire $\displaystyle 2\omega+s-h+\frac{w}{u}=0$ ?
Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

Je trouve $\displaystyle f(z)=\frac{u(w-s_1u-s_3u^3)z+s_2u^2+s_3u^3w+1}{-2u^2z-2s_3u^4}$.
Les points limites sont donc effectivement le centre aréolaire $\displaystyle -s_3u^2$ et l'équicentre $\displaystyle \frac{s_1}{2}+\frac{s_3u^2}{2}-\frac{w}{2u}$.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir à tous,
a-t-on envisagé une preuve synthétique concernant l'orthopôle d'une droite relativement à un triangle?
Sincèrement
Jean-Louis

Bonjour,

Soit $L$ d'équation $\displaystyle u z+ \overline{u} \overline{z} + w = 0$ avec $u$ de module $1$ et $w$ réel.
La parallèle $L_A$ à $L$ passant par $A$ a pour équation $\displaystyle u z + \overline{u} \overline{z} - u a - \overline{u} \overline{a} = 0$ et recoupe le cercle circonscrit en $\displaystyle U = \frac{1}{a u^2}$ et permutation circulaire.
La perpendiculaire $L'_A$ menée de $U$ à $(BC)$ a pour équation $\displaystyle (\overline{b} - \overline{c})(z - U) + (b - c)(\overline{z}-\overline{U}) = 0$.
Le centre aréolaire $S(-s_3 u^2)$ de $L$ vérifie cette équation, donc $S$ est sur $L'_A$.
Il en est de même par permutation circulaire pour $L'_B$ et $L'_C$, ce qui légitime la construction de $S$.
Le point diamétralement opposé à $S$ sur le cercle circonscrit est $S'(s_3 u^2)$.
Ses projeté orthogonaux sur $(BC)$, $(CA)$, $(AB)$ sont $\displaystyle a_3 = \frac{b + c + s' - b c \overline{s'}}{2}$ et permutation circulaire, et sa droite de Simson a pour équation $\displaystyle p z + q \overline{z} + r = 0$ avec $p = 2 s_3 u^4$, $q = -2 s_3 u^2$ et $r = - s_3^2 u^6 - s_1 s_3 u^4 + s_2 u^2 + 1$. On peut alors vérifier que l'orthopôle $\displaystyle \omega = \frac{s_1 u + s_3 u^3 - w}{2 u}$ satisfait bien cette équation.

Cordialement,

Rescassol