Aires

Bouzar
Bouzar
dans Géométrie
Bonsoir

Voici un problème :

Soit un triangle $ABC.$ On considère un point $P$ à l'intérieur du triangle. Les droites qui passent par $P$ et les sommets du triangle coupent les côtés du triangle aux points $A_1, B_1$ et $C_1.$
Montrer que l'aire du triangle déterminé par les milieux des segments $[AA_1], [BB_1]$ et $[CC_1]$ est égale à $\dfrac{1}{4}$ de l'aire du triangle $A_1B_1C_1.$

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Le script Matlab ci-joint répond $\displaystyle \frac{1}{4}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir Rescassol

    Tu es un véritable virtusose du truc de Morley.

    Cordialement
  • kolotoko0
    kolotoko0
    Bonjour,
    oui, le calcul est presque évident en utilisant les coordonnées barycentriques.

    En posant P(x,y,z), on a A1 = (0; y ; z) , B1 = (x ; 0 ; z) et C1 = (x ; y ; 0) et le triangle A1B1C1 a pour aire |2xyzS/(x+y)(y+z)(z+x)| alors que si on note A2, B2, C2 les milieux de AA1 , BB1, CC1 on trouve A2 = (y+z ; y ; z) ; B2 = (x ; x+z ; z) et C2 = x ; y ; x+y) et l'aire de A2B2C2 est |4xyzS/8(x+y)(y+z)((z+x)| soit le quart de l'aire de A1B1C1 .
    bien cordialement
    kolotoko
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir kolotoko

    Excellente solution.
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