théorème de Kosnita

Bonsoir,
une preuve synthétique de ces deux résultats peut être vue sur
http://perso.orange.fr/jl.ayme vol. 1 Le point de Kosnitza.
Sincèrement
Jean-Louis

Bien joué, Rescassol!
C'est exact!
En ce qui concerne $f$ qui est ici $\R$-linéaire, il me faut les valeurs propres et les sous-espaces propres avec si possible leur construction à la règle et au compas pour faire plaisir aux sectateurs de ces deux damnés instruments.
En ce qui concerne $g$, j'aurais préféré que tu caractérises le second point fixe plutôt que le point limite, ici appelé point central, puisque $g$ est involutive. Mais tu l'as pratiquement fait!
Donc le point d'affixe $\displaystyle \frac{2s_3}{s_2}$ est l'inverse par rapport au cercle circonscrit du point $N$, centre du cercle d'Euler.
Soit $\tau_A$, la similitude directe de centre $A$ telle que $\tau(B') = C'$.
Soit $\tau_B$, la similitude directe de centre $B$ telle que $\tau(C') = A'$.
Soit $\tau_C$, la similitude directe de centre $C$ telle que $\tau(A') = B'$.
Montrer que $\tau_C \circ \tau_B \circ \tau_A = id$.
On est donc dans la configuration des trois figures semblables.
Quel est le point directeur?
Quels sont les points invariables?
Quels sont les points associés?
Voir le Lalesco pour la terminologie.
Voici la figure





Amicalement
Pappus

Bonjour,

Bien sûr, Pappus, tu as raison, comme d'habitude.

Les valeurs propres de $f$ sont $\alpha(1+|s_2|)$ et $\alpha(1-|s_2|)$ avec $\displaystyle \alpha=\frac{1}{s_1\overline{s_1}-1}$.
On a d'ailleurs $\displaystyle |s_2|^2=\frac{s_1s_2}{s_3}$.
Les droites propres associées sont engendrées par $\displaystyle 1+\frac{s_2}{|s_2|}$ et $\displaystyle 1-\frac{s_2}{|s_2|}$.

Cordialement,

Rescassol

@Rescassol
Oui, c'est bien cela!
Il resterait à donner une construction de ces sous-espaces ou droites invariantes ou bien à les caractériser géométriquement!
Voici d'ailleurs la figure que j'ai faite qui pose de nouvelles questions.





J'ai tracé en pointillé rouge les droites invariantes de $f$ qui passent par son point fixe $O$.
J'ai aussi tracé en rouge la conique passant par les sommets $A$, $B$, $C$, le centre du cercle circonscrit $O$ et le point de Kosnita $K$.
Je te laisse deviner ces nouvelles questions.
@ kolotoko
Je respecte beaucoup ces valeureux instruments et s'ils sont damnés, ce n'est pas de leur faute mais bien celle de ceux qui les ont damnés en les jetant à la poubelle.
Aujourd'hui non seulement nos élèves et aussi la plupart de leurs enseignants ne connaissent plus les constructions les plus élémentaires de la géométrie mais encore les nouvelles technologies, (logiciels de géométrie dynamique), ne sont pas plus utilisées alors qu'elles auraient dû faciliter notre enseignement.
Ce fil que Bouzar a initié sur le théorème de Kosnita est un excellent exemple.
Si j'avais dû perdre mon temps à effectuer toutes les constructions à la règle et au compas que cette figure exige et cela à chaque fois qu'il fallait la refaire, je n'aurais pas eu cette intéressante discussion avec Bouzar et Rescassol.
Cette dualité permanente entre calculs et figures est essentielle à la compréhension de la géométrie et c'est cela qui devrait être enseigné!
Amicalement
Pappus
PS
Quel est l'argument qui nous permet d'affirmer que ces droites invariantes en pointillé rouge sont constructibles à la règle et au compas à partir des points $A$, $B$, $C$?

Bonsoir,

Pappus, ton hyperbole équilatère rouge, passant par $A$, $B$, $C$, $O$ et $K$ a pour équation $\displaystyle s_1z^2-s_2s_3\overline{z}^2-(s_1^2-s_2)z+(s_2^2-s_1s_3)\overline{z}=0$.
Ses asymptotes sont donc bien parallèles aux directions propres de $f$.

Le centre de cette conique est $\displaystyle \Omega=\frac{s_1^2-s_2}{2s_1}$ et on peut mettre son équation sous la forme $\displaystyle s_1(z-\Omega)^2-s_2s_3(\overline{z}-\overline{\Omega})^2=\frac{(s_1s_2-s_3)(s_1^3s_3-s_2^3)}{4s_1s_2s_3}$

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

Pappus a écrit:

Par contre les vecteurs propres de $f$ que tu nous a donnés sont certainement erronés!

Où est l'erreur dans le calcul suivant :
Soit $h(z)=z+s\overline{z}$ et $\displaystyle z=s+|s|$. On a:
$\displaystyle h(z)=s+|s|+s(\overline{s}+|s|)=s+|s|+|s|^2+s|s|=(1+|s|)(s+|s|)$
Donc $h(z)=(1+|s|)z$ ?

Cordialement,

Rescassol

Mon cher Rescassol et mon cher Bouzar

Rescassol a écrit:

La droite d'Euler du triangle $ABC$ recoupe son cercle circonscrit en deux points dont les droites de Simson sont les asymptotes de l'hyperbole de Jérabek.
Il suffit alors de tracer les parallèles à ces asymptotes passant par $O$.

Tu viens donc de démontrer qu'on peut construire à la règle et au compas les droites invariantes de $f$.
C'est justement la construction que j'avais en vue.

Enfin, on en vient aux propriétés des hyperboles équilatères circonscrites.
Comme j'aurais besoin de leurs propriétés, je viens d'ouvrir un fil sur ce sujet.
Amicalement
Pappus

Bonsoir,

J'avais $\displaystyle k = \frac{s_2^2 - 2 s_1 s_3}{s_1 s_2 - 4 s_3}$, ce qui est la même chose.

Cordialement,

Rescassol

Mon cher Bouzar
Le cas du centre du cercle inscrit qui est le premier point de la liste de Kimberling, à savoir $X(1)$ et que je note $\Omega$ est intéressant.
Les bissectrices intérieures recoupent le cercle circonscrit en des points $A'$, $B'$, $C'$.
$\Omega$ est l'orthocentre du triangle $A'B'C'$.
Modulo le truc de Morley, on a $\omega = a' + b' + c'$
Mais $a'^2 = bc$, $b'^2 = ca$, $c'^2 = ab$.
Conclusion?
Amicalement
Pappus