Isotomie et points conconiques
dans Géométrie
Bonjour à tous,
On se donne un triangle ABC et trois points M, N, P et leurs images M', N',P' par l'isotomie relative au triangle ABC. Peuvent-ils être sur une même conique ?
merci à JDE et aux autres connaisseurs.
On se donne un triangle ABC et trois points M, N, P et leurs images M', N',P' par l'isotomie relative au triangle ABC. Peuvent-ils être sur une même conique ?
merci à JDE et aux autres connaisseurs.
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Réponses
Je vois que tu es en pleine forme pour la rentrée!
Je me demande si on avait pas déjà discuté de cela auparavant.
Tout revient à chercher les coniques invariantes par isotomie.
Sur la figure, j'en ai dessiné 3 mais il y en a peut-être d'autres.
Le point $m'$ est l'isotomique de $m$.
Amicalement
Pappus
"Tout revient à chercher les coniques invariantes par isotomie" Ce n'est pas clair pour moi, puisque l'image d'une conique par isotomie est un quartique !
je serai curieux de connaître le chemin le plus court pour établir que l'isotomie sur l'ellipse ci-dessus passant par A' se confond avec la symétrie affine par rapport à AA' parallèlement à BC.
De manière générale si M,N,P,M',N',P' sont sur une conique $\Gamma$, alors ce sont des intersections de $\Gamma$ avec sa quartique image. Où sont les deux autres points ?
Ca ne loupe jamais!
Chaque fois que je sors une ânerie, tu es heureusement là pour la remarquer.
Pour me faire pardonner, j'ai tracé dans le plan affine la figure suivante montrant une conique $\Gamma$ ayant ses huit points d'intersection réels avec sa quartique isotomique $\Gamma '$.
J'ai regroupé les quatre paires isotomiques.
J'ai eu beaucoup de mal à faire cette figure.
Tu as l'air de dire que si on connait trois paires de points isotomiques de l'intersection, on obtiendrait automatiquement la quatrième paire restante (par un procédé que je n'ai pas trouvé)?
Amicalement
Pappus
[Une figure centrée, c'est plus joli. Bruno]
Pourtant, je vous jure, je ne suis pas payé par Markus Hohenwarter.
Sur cet applet vous pouvez tout bouger à la souris : les sommets du triangle A, B, C ; les cinq points bleus qui déterminent la conique ; le point M sur le conique (verte). Quand vous bougez M (n'hésitez pas à sauter d'une branche à l'autre, dans le cas d'une hyperbole), vous voyez son conjugué isotomique se déplacer sur la quartique rouge. La quartique rouge passe toujours par les points A, B, C. Même quand elle n'a pas l'air de passer par un de ces points, ça veut dire qu'elle y a un point double solitaire. Jouez bien avec l'applet (si vous faites partie des heureux internautes qui arrivez à l'afficher) !
Bu va me dire si je me trompe, mais (du fait que la CNS de coconicité de trois points et de leurs images est sans doute purement algébrique et non géométrique), on peut raisonner heuristiquement comme il suit : on fixe $A,B,C$ ainsi que deux couples homologues $M,M',N,N'$ et on prend ces derniers comme points de base d'un faisceau de coniques. Par un point $P$ variable passe une conique du faisceau, dont les coefficients de l'équation dépendent quadratiquement des coordonnées de $P$. Dire que l'homologue $P'$ de $P$ appartient à la même conique équivaut à une équation de degré $6$ en les coordonnées de $P$.
Il existe donc une sextique $S$ telle que $P\in S\iff MM'NN'PP'$ coconiques. Cette sextique devrait (?) passer par $MM'PP'$, par les quatre points fixes de l'involution (iso--ce que l'on voudra) ainsi que par $ABC$, points doubles.
Pour $A$ par exemple, je vois cela ainsi : la conique $AMM'PP'$ coupe la droite $BC$ en deux points $A_1A_2$ ; les tangentes à $S$ au point double $A$ sont les homologues des droites $AA_1$ et $AA_2$ ; en outre $S$ passe par $A_1$ et $A_2$ ainsi que par les points construits à partir de $B$ et de $C$. Cela fournit au passage les six intersections de $S$ avec les côtés du triangle.
Qu'en pensez-vous ?
Bien cordialement, j__j
J'ai, après pas mal de calculs assez rébarbatifs, réussi à obtenir l'expression complexe de la transformation isotomique,avec le truc de Morley habituel:
Si on a $M(z)$, son transformé $M'(z')$ est donné par $\displaystyle z'=\frac{Num}{Den}$ avec (accrochez vous) :
$\displaystyle Num=s_3((-4s_1s_2s_3+s_1^3s_3+9s_3^2)\overline{z}^2+(-s_1^3s_2+4s_1s_2^2-s_1^2s_3-6s_2s_3)\overline{z}+(s_1^2s_2+3s_1s_3-4s_2^2)z\overline{z}$
$\displaystyle +(-2s_1^3+7s_1s_2-9s_3)z+(s_1^2-3s_2)z^2+(s_1^4-4s_1^2s_2+6s_1s_3+s_2^2))$
et:
$\displaystyle Den=s_3^2(s_1^2-3s_2)\overline{z}^2+s_3(-s_1^2s_2+2s_2^2+3s_1s_3)\overline{z}+s_3(s_1s_2-9s_3)z\overline{z}+(3s_2s_3-s_1s_2^2+2s_1^2s_3)z$
$\displaystyle +(s_2^2-3s_1s_3)z^2+s_1^3s_3-4s_1s_2s_3+9s_3^2+s_2^3-3s_1s_2s_3$
Cordialement,
Rescassol
j__j, je suis bien d'accord avec toi, mais je ne vois pas pourquoi tu parles de "raisonnement heuristique". Que lui manque-t-il pour être un raisonnement tout court ?
Je peux te proposer un autre raisonnement qui conclut que A, B, C sont des points doubles de S : puisque cette sextique est par définition globalement invariante par l'involution isotomique alors que la transformée d'une sextique se doit d'être une courbe de degré douze, c'est que chacun des sommets est un point double de S (12-6=3x2).
c'est vrai, j'ai qualifié le raisonnement d'heuristique parce qu'il pourrait être en défaut dans des cas particuliers tels que l'alignement de trois points ou l'appartenance de $A$ à une des tangentes mises en oeuvre. Cela dit, ces cas particuliers vont plutôt, à mon avis, se traduire par des singularités supplémentaires, voire une décomposition de la sextique.
Enfin, je suis soulagé que la Géométrie algébrique, en la personne d'un de ses éminents représentants, me donne quitus !
Bien cordialement, j__j
a quoi est-ce que tu vois sur une équation barycentrique l'existence d'un point double en $A$ ?
Merci,
Lewiner
Je ne vois pas vraiment ça sur l'équation homogène (ou barycentrique si tu
préfères). Soit $\Gamma$ une courbe de degré $d$ qui n'a pas un côté du
triangle comme composante. Sa transformée par l'involution de Cremona (ou
isotomique, ou isogonale, peu importe) est une courbe de degré $2d$. Sa
transformée stricte est ce qu'on obtient en enlevant les éventuels diviseurs
exceptionnels (les côtés du triangle) qui apparaissent par éclatement des
sommets. Si la transformée stricte est de nouveau une courbe de
degré $d$ (par exemple si la courbe est invariante), alors ces
diviseurs exceptionnels arrivent avec une multiplicité totale de $d$ dans la
transformée, c.-à-d. que la somme des multiplicités des sommets sur $\Gamma$
est $d$. Dans le cas d'une sextique et dans une situation où les trois sommets
jouent le même rôle, ceci veut dire que $\Gamma$ a un point double en chaque
sommet.
Amicalement
pappus