Ne pas perdre de vue l'isogonal ?

BlackForever · September 2011

Bonjour Mr pappus. Voici un exercice qui ne manque pas d'intérêt. Si ABC est un triangle inscrit dans le cercle (O). Quel est le lieu des points M qui sont à égale distance du point O que leur transformé isogonal M' ?

Rescassol · September 2011

Bonjour,

Ce lieu a pour équation :
$\displaystyle s_3 z^3 \overline{z}^3 + z^3 + s_3^2 \overline{z}^3 - 3 s_3 z^2 \overline{z}^2 + s_2 z^2 \overline{z} + s_1 s_3 z \overline{z}^2 - 2 s_1 z^2$
$\displaystyle - 2 s_2 s_3 \overline{z}^2- s_1 s_2 z \overline{z} + (s_1^2 + s_2) z + (s_2^2 + s_1 s_3) \overline{z} - s_1 s_2 = 0$

Il passe par $A$, $B$ et $C$.

Cordialement,

Rescassol

Bouzar · September 2011

Bonjour Rescassol

Je suppose que tu es parti de la relation $OM=OM'$ où $M'$ est le conjugué isogonal de $M.$ Et comme tu nous avais donné l'expression de $z'$ ton équation du lieu cherché en découle.

pappus · September 2011

Mon cher Black
C'est donc une sextique tricirculaire.
Mais je ne vois guère l'intérêt de ce genre d'exercice purement calculatoire et sans réelle difficulté.
Amicalement
Pappus
PS
Il faudrait faire une petite recherche sur le site de Bernard Gibert pour voir s'il n'en a pas parlé!

Rescassol · September 2011

Bonjour,

Bouzar, je suis parti de $\displaystyle i(z) \overline{i(z)}=z \overline z$ en appelant $i(z)$ la transformation isogonale et en utilisant la formule que j'ai donnée il y a quelque temps pour $i(z)$.

Cordialement,

Rescassol

john_john · September 2011

Pappus a raison, la question est assez artificielle. Plus intéressant est en revanche l'étude du lieu des points $M$ tels que $M'$ appartienne à la droite $PM$, où le point $P$, le {\em pivot}, est fixé.

Ce sont les cubiques (elliptiques en général) du type Darboux ou Neuberg (mathématicien luxembourgeois !) À consommer sans modération dans le poly de GB.

Amitiés, j__j

Ne pas perdre de vue l'isogonal ?

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Bonjour!

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