Fibonacci et la rationalisation du cercle

GOLEM6 · September 2011

Titre initial : Fibonnaci et la rationalisation du cercle unité
[Le titre doit être court. AD]

Transcendance de pi et triplets :

Soit $\phi$ (le nombre d'or) la racine positive de x²-x-1=0 dont le développement en fraction continue est [1] ("le plus irrationnel des nombre algébrique"]

Soit (3,4,5), le premier triplet pythagoricien.

Soit F la suite des nombres de Fibonacci.

Soit lim F_n/F_n+1 =$\phi$.

On a directement F_n = (F_n+5 - F_n-5) / 11

Soit la suite de 4 nombres de Fibonacci, alors on peut définir un algorithme pour calculer la liste des triplets avec (F_n*F_n+3) (2.F_n+1.F_n+2) (F_n+1²+F_n+2²)

Soit 8/10 le rapport entre le côté du carré et le diamètre du cercle tel que 2 angles du carré soient sur la circonférence du cercle et que le cercle soit tangent au milieu du coté opposé du carré (construction de Vitruve).

Soit 1 la distance entre le centre du carré et du cercle ainsi défini.

Peut-on, en tirer une démonstration de la transcendance de pi ?

R. Je tente d'étudier en historien des mathématiques la question de la quadrature du cercle au moyen âge et pendant la renaissance italienne et notamment l'importance de la redécouverte du texte de Vitruve à la fin du 15ème siècle pour la théorie mathématique. J'ai déjà montré et documenté l'importance de la suite de Fibonacci et de la divine proportion dans la pensée mathématique de la renaissance italienne sur la question de la rationalisation (diophantienne) du cercle unité par les triplets de Pythagore. Quid de la quadrature ?

Cidrolin · September 2011

Bonjour,

Le nombre $\varphi$ peut intervenir facilement avec un cercle:

$ABC$ est un triangle équilatéral, on note $ I$ le milieu du côté $AB$, $J$ le milieu de $AC$

et $K$ le point de rencontre de la droite $(IJ)$ avec le cercle circonscrit à $ABC$, $J$ est entre $I$ et $K$.

Calculer $\dfrac{ KJ} {IJ} $.

Bouzar · September 2011

Bonjour

GOLEM6 · September 2011

Oui. Mais, l'idée est un peu plus poussée que cela.

On retrouve dans les textes l'idée que cette divine proportion est tangente au vesica piscis.
file.php?8,file=20910

Et donc que l'on trouve les racines de 3, de 5 et de 2.
file.php?8,file=20912

La méthode pour trouver les triplets à partir de 4 nombres de Fibonacci consécutifs est connue depuis Leonardo Pisano (Fibonnaci).

Sauf que si l'on se place sur les entiers relatifs en fixant le centre du cercle sur l'origine, la série -1 -1 0 +1 et -1 0 +1 +1 donnent un seul et même triplet (-1, 0, +1). C'est ainsi selon moi qu'était abordé la question de la quadrature du cerlce : on ne peut exprimer algébriquement la racine de 3 en fonction de la racine de 2.

Ils se référeraient alors à la construction de Vitruve :
file.php?8,file=20914