Exo de 1ère-S sur la parabole

myrtille0
myrtille0
dans Géométrie
Un élève à LLg a eu cet exercice en devoir maison pour la rentrée.

Montrer que la surface du triangle délimité par trois tangentes à une parabole est égal à la moitié de la surface du triangle ayant pour sommets les points de contact. Le professeur leur a dit qu'il avait une démo en trois lignes ! Il leur a dit que de le vérifier auparavant avec un logiciel de géométrie dynamique (en trois minutes)
J'entrevois une mais qui demande au moins cinq lignes, et je l'ai vérifié effectivement sur CAbri, sans macros, en trois minutes.
Bonjour à tous. Myrth
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Réponses

  • zephir
    zephir
    Bonjour Myrtille,

    Tout dépend de la définition adopté de l'aire d'un triangle. Si c'est le produit mixte, alors c'est bien un calcul de quelques lignes, plus de 3 en tout cas, sauf astuce pas vu.

    Amicalement,
    zephir.
  • myrtille0
    myrtille0
    Le résultat se ramène clairement à un résultat standard d'Archimède sur le rapport entre l'aire d'un secteur paraboliqueet le triangle formé par la corde et les tangentes en ses extrémités. Ce dernier point demandeplus de trois minutes au meilleur des cas.
  • Bruno
    Bruno
    Tu l'as dit... :D ! Il faut donc supposer qu'il y a autre chose.

    Bruno
  • Guego
    Guego
    En deux lignes :

    D'après le théorème qui dit que "la surface du triangle délimité par trois tangentes à une parabole est égal à la moitié de la surface du triangle ayant pour sommets les points de contact", le résultat suit trivialement.
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour

    La parabole est la courbe d'équation cartésienne : y = f(x) associée au trinôme du second degré (avec $u\neq 0$)
    $$f(x) = ux^2 + vx + w.$$
    La forme canonique du trinôme est
    $$f(x) = u[(x + \dfrac{v}{2u})^2 - \dfrac{\Delta}{4u^2}]$$
    où $\Delta = v^2 - 4uw.$
    Le changement de variable $X = x + \dfrac{v}{2u}$ et $Y = y + \dfrac{\Delta}{4u}$ permet d'obtenir la forme réduite $Y = uX^2$ dans le repère d'origine le sommet $S(-\dfrac{v}{2u} , - \dfrac{\Delta}{4u})$ de la parabole.
    Dans ce dernier repère, on a : $A(a;ua^2),$ $B(b;ub^2)$ et $C(c;uc^2).$
    J'appelle $T_a$ la tangente au point A d'abscisse $a.$
    On a :
    $T_a : \quad y=2uax-ua^2,$
    $T_b : \quad y=2ubx-ub^2,$
    $T_c : \quad y=2ucx-uc^2.$
    J'appelle
    $P$ le point d'intersection entre $T_a$ et $T_b$
    $Q$ le point d'intersection entre $T_a$ et $T_c$
    $R$ le point d'intersection entre $T_b$ et $T_c.$
    Je trouve
    $P(\dfrac{a+b}{2}; uab)$
    $Q(\dfrac{a+c}{2}; uac)$
    $R(\dfrac{b+c}{2}; ubc).$
    L'aire du triangle $ABC$ est donnée par :
    $\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
    a & ua^2 & 1 \\
    b & ub^2 & 1 \\
    c & uc^2 & 1
    \end{vmatrix} = \dfrac{1}{2}(aub^2-auc^2-bua^2+buc^2+cua^2-cub^2).$
    L'aire du triangle $PQR$ est donnée par :
    $\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
    \dfrac{a+b}{2} & uab & 1 \\
    \dfrac{a+c}{2} & uac & 1 \\
    \dfrac{b+c}{2} & ubc & 1
    \end{vmatrix} = \dfrac{1}{4}(aub^2-auc^2-bua^2+buc^2+cua^2-cub^2).$
    Ainsi, l'aire du triangle $PQR$ est la moitié de l'aire du triangle $ABC.$

    Amicalement
  • Bouzar
    Bouzar
    Je crois être rester dans l'esprit du programme de 1ère S (sauf peut être l'expression de l'aire avec le déterminant).
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • zephir
    zephir
    @Bouzar : f(x)=x^2 fait l'affaire (même facteur d'échelle pour les deux aires;) )
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
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  • pappus
    pappus
    La méthode d'exhaustion d'Archimède est archiconnue mais est-ce cela qui était demandé aux élèves de LLG.
    Il aurait été intéressant de savoir dans quelle partie du programme de Terminales s'inscrivait cet exercice.
    Il me semble que les prémisses du Calcul intégral via le calcul des primitives est justement dans ce programme, auquel cas cet exercice est d'une trivialité désolante.
    Amicalement
    Pappus
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
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  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Si on a $A(a,a^2)$, $B(b,b^2)$ et $C(c,c^2)$, les aires des triangles sont des polynômes symétriques en $a$, $b$, $c$ et sont nulles si au moins deux des abscisses sont égales.
    Elle sont donc proportionnelles à $P(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)$ qui est de degré 3, comme les aires. Il reste à justifier que les coefficients de proportionnalité sont au signe près $\displaystyle \frac{1}{2}$ et $\displaystyle \frac{1}{4}$, par exemple en regardant un triangle particulier, par exemple $a=0$, $b=1$, $c=-1$.
    Je rappelle une propriété de la parabole: la tangente en $A$ recoupe l'axe en $\displaystyle -a^2$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • myrtille0
    myrtille0
    Bravo Rescassol !
  • christophe c
    christophe c
    Et c'est quoi la solution en 3 lignes qui rend le truc évident?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,
    Christophe Chalons a écrit:
    Et c'est quoi la solution en 3 lignes qui rend le truc évident?

    Bah, en écrivant petit sur le papier adéquat, ma solution ne devrait pas dépasser 3 lignes :D

    Cordialement,

    Rescassol
  • christophe c
    christophe c
    Si on démontre avec des axiomes lycéens tous les lemmes que tu utilises, chaque caractère va mesurer 0,03 millimètres :D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,
    Christophe Chalons a écrit:
    Si on démontre avec des axiomes lycéens tous les lemmes que tu utilises, chaque caractère va mesurer 0,03 millimètres
    Tu confonds axiomes lycéens et axiomes lycéens de LLG. Ce n'est pas du tout la même chose. Dans ce cas, ce que j'ai écrit doit à peu près suffire.

    Cordialement,

    Rescassol
  • christophe c
    christophe c
    J'en doute, même si c'est un lycée huppé et bien placé géographiquement (qui sélectionne ses entrées), de là à ce que des masses entières d'ados jonglent avec les polynômes symétriques et des "wlog" ou simili comme des évidences, y a quand-même un pas
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je crois plutot soit à une blague de Myrtille, soit à une solution bien plus évidente sans matériel de type L1 (c'est aussi une question d'élégance dans le défi: un prof ne mettrait pas un exo qui se résout comme ça (ta solution) ce serait un manque d'imagination excessif)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Déjà, rien que le "wlog la parabole est y=x²" est trop hors-jeu à mon sens
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Je ne sais pas ce qu'est "wlog" et n'en ai pas parlé.
    Savoir que $\displaystyle y=x^2$ est l'équation d'une courbe qui s'appelle parabole est du programme de seconde.
    Je ne vois pas où est le manque d'imagination dans cet exercice.
    LLG n'est pas un lycée huppé, mais un des meilleurs lycées de France, où il n'y a que des bons élèves, et où les profs débordent régulièrement du programme dans toutes les classes. Il n'est d'ailleurs pas mieux placé géographiquement que des centaines d'autres. Je crois que tu ne connais pas ce lycée.

    Cordialement,

    Rescassoil
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Je ne sais pas ce qu'est "wlog"
    Without loss of generality: je ne fais pas l'affront de traduire?

    LLG n'est pas un lycée huppé, mais un des meilleurs lycées de France, où il n'y a que des bons élèves, et où les profs débordent régulièrement du programme dans toutes les classes.
    Il est grossièrement faux que tous les profs débordent du programme car l'objectif est avant tout de bien former les élèves (et l'échec d'une élève au baccalauréat l'an dernier a été plus signalé aux professeurs que la majorité de mention TB).
  • pappus
    pappus
    J'ai évidemment dit des sottises sur Archimède qui n'avait rien à voir avec cet exercice dont j'avais mal lu l'énoncé.
    Il s'agit bien de calculer le rapport des aires de deux triangles dont la définition fait intervenir la parabole.
    A priori, la solution élémentaire attendue devrait se faire par des découpages en remplaçant au besoin un triangle par un autre de même aire.
    Pour le moment, je n'ai pas encore trouvé cette solution.

    Mais ce problème est aussi intéressant au niveau Capes ou Agrégation.
    Voici la figure:


    file.php?8,file=20932

    Je vous laisse la contempler.
    Je ne donne aucune démonstration pour le moment, mis à part le fait que tous les calculs se font en coordonnées barycentriques.
    La parabole est inscrite dans le triangle $ABC$, les points de contact étant $a$, $b$, $c$.
    D'après le théorème de Brianchon, les droites $Aa$, $Bb$, $Cc$, tracées en bleu, se coupent en un point $I$, situé sur l'ellipse de Steinet circonscrite au triangle $ABC$.
    J'ai tracé le triangle antimédial $A'B'C'$.
    Les droites $A'a$, $B'b$, $C'c$ tracées en rouge, sont parallèles à la direction asymptotique de la parabole.
    Vous remarquerez que cette configuration affine.
    Je n'ai utilisé aucune métrique.
    Soit $f$ l'application affine définie par $f(A) = a$, $f(B) = b$, $f(C) = c$.
    Soit $\overrightarrow f$ sa partie linéaire.
    Montrer que le polynôme caractéristique de $\overrightarrow f$ est $X^2 + X -2$.
    Montrer que $f$ est le produit commutatif d'une affinité et d'une translation.
    J'ai le vague souvenir d'avoir parlé de cette configuration dans un autre fil.
    Amicalement
    Pappus20932
  • christophe c
    christophe c
    Je ne vois pas où est le manque d'imagination dans cet exercice

    Je ne dis pas exactement ça: je dis que SI il n'y a pas une solution de 3 lignes qui fait tilt à n'importe quel lycéen (théorique) qui connait les axiomes "de base" connue par le prof de lycée qui le donne, alors même qu'il demande d'en trouver une dans la consigne, [size=large]alors[/size] cet exo ne se distingue pas spécialement de tous les exos "difficiles" de géométrie.

    Mais peut-être qu'une telle solution existe... Tout dépend donc de l'existence de cette suite éventuelle de 200 caractères... :D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    l'ellipse de Steinet

    Ah tiens, c'est marrant ça, ce serait bien une ellipse privilégiée (alors qu'il y a plein d'ellipses circonstrites au même triangle). Ne serait-elle pas celle qui devient un cercle par les tranformations affines qui rendent le triangle équilatéral?

    J'aurais appris un truc sympa sur ce coup-là (si je me trompe pas)
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  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
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  • christophe c
    christophe c
    J'ai répété le lien pour éviter les changements de pages du fil
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  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
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  • christophe c
    christophe c
    remarque: ça donne un traceur de parabole sous geogebra en utilisant uniquement des traceurs de paralleles et des intersections. Y a-t-il d'autres "traceurs de paraboles" avec si peu d'outils? (De tel outils ne permettent en principe pas de tracer 2 droites perpendicualires...)
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  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
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  • christophe c
    christophe c
    Bon bin je laisse l'animation, mais je sais pas du tout ce qu'elle signifie... :S :S

    http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/plusexplicite.html
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  • Bruno
    Bruno
    Je croyais avoir résolu les problèmes grâce à W-7 correctement formaté mais :
    Suivi de :
    me renvoie à la case départ :X.
    Bruno20936
    20937
  • christophe c
    christophe c
    Pourtant, hier j'ai remis à jour les geogebra.jar, etc :S

    Je me rappelle, une fois il y avait une histoire comme ça, et on avait fini par trouver. Je vais y reflechir.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bruno
    Bruno
    Te fatigue pas, je vais continuer à fouiller car je pense bien que ton système fonctionne.

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    en attendant, j'ai fait deux photos.

    Mais de toute façon, je suis sidéré, la courbe orange ne semble pas être une conique (mais alors c'est quoi ??????????) , etc, etc bref du pur délire (mais délicieux car les erreurs mesurent 2mm max donc sont difficiles voir...

    20938
    20939
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Purré, si c'est pas une conique, c'est quoi?????
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon, je vais tout recommencer grrrrr, peut-être j'ai mis un point invisible sans le savoir avec dérapage souris.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bruno
    Bruno
    Tu sais, il n'y a pas que les coniques dans la vie :D ! A priori, ce doit être une coure algébrique.

    Bruno
  • remarque
    remarque
    J'ai le même genre de résultats que Bruno (et pourtant, Dieu sait si nous sommes sur des machines orthogonales ! :D ), et ça se termine ainsi :

    Pour le debuggage, voici le contenu de la console Java :
    Module Java 1.6.0_26
Utilisation de la version JRE 1.6.0_26-b03-384-10M3425 Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM
Répertoire de départ de l’utilisateur = ce qu'il faut.
----------------------------------------------------
c :   effacer la fenêtre de la console
f :   finaliser les objets dans la file d’attente de finalisation
g :   récupération de mémoire
h :   afficher le message d’aide
l :   vider la liste des chargeurs de classe
m :   utilisation de la mémoire d’impression
o :   journalisation des déclencheurs
q :   masquer la console
r :   recharger la configuration de politique
s :   vider les propriétés système et de déploiement
t :   vider la liste des segments
v :   vider la pile des segments
x :   effacer le cache du chargeur de classe
0-5:  régler le niveau de suivi sur <n>
----------------------------------------------------


java.lang.ClassFormatError: Incompatible magic value 1013478509 in class file geogebra/GeoGebraApplet
	at java.lang.ClassLoader.defineClass1(Native Method)
	at java.lang.ClassLoader.defineClassCond(ClassLoader.java:631)
	at java.lang.ClassLoader.defineClass(ClassLoader.java:615)
	at java.security.SecureClassLoader.defineClass(SecureClassLoader.java:141)
	at sun.plugin2.applet.Applet2ClassLoader.findClass(Applet2ClassLoader.java:247)
	at sun.plugin2.applet.Plugin2ClassLoader.loadClass0(Plugin2ClassLoader.java:250)
	at sun.plugin2.applet.Plugin2ClassLoader.loadClass(Plugin2ClassLoader.java:180)
	at sun.plugin2.applet.Plugin2ClassLoader.loadClass(Plugin2ClassLoader.java:161)
	at java.lang.ClassLoader.loadClass(ClassLoader.java:247)
	at sun.plugin2.applet.Plugin2ClassLoader.loadCode(Plugin2ClassLoader.java:675)
	at sun.plugin2.applet.Plugin2Manager.createApplet(Plugin2Manager.java:3046)
	at sun.plugin2.applet.Plugin2Manager$AppletExecutionRunnable.run(Plugin2Manager.java:1498)
	at java.lang.Thread.run(Thread.java:680)
Exception : java.lang.ClassFormatError: Incompatible magic value 1013478509 in class file geogebra/GeoGebraApplet
    20940
  • christophe c
    christophe c
    J'essairai de retrouver l'explication qui avait été trouvé jadis dans un autre fil.

    Et sinon confirmation: ce n'est pas une conique, mais elle reste éternellement très proche des coniques qui passent par 5 de ses points. En plus ce qui est bizarre c'est que les 2 traingles sont bien dans des rapports de 2 :S, bon bref, je vais aller boire un coup :D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bruno
    Bruno
    Ouf ! Merci sieur Remarque :)-D !

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    Voyez si ça marche là, probablement que oui, j'ai enlevé un "appel au cache" qui gênait probablement (comme l'autre fois)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bruno
    Bruno
    Chez moi ça marche Christophe!

    La petite taille de l'image est due à mon souci de ne pas sortir de l'épure (600 pixel de large :D).

    Bruno20941
  • remarque
    remarque
    Marche aussi.
    file.php?8,file=2094220942
  • JLT
    JLT
    Juste une remarque pour simplifier légèrement les calculs de Bouzar :

    Sans perte de généralité, on peut supposer que la parabole admet pour équation $y=px^2$. Supposons par exemple que les points $A=(a,pa^2)$, $C=(c,pc^2)$, $O=(0,0)$ et $B=(b,pb^2)$ se succèdent dans cet ordre sur la parabole.

    On a $\mathcal{A}(CAB)=\mathcal{A}(OAC) +\mathcal{A}(OAB) -\mathcal{A}(OCB)$, et en décomposant de même le triangle $A'B'C'$ formé par les tangentes en $A,B,C$, on se ramène au cas où $a<c=0<b$.

    On a alors $\mathcal{A}(CAB)=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}]|=\frac{p }{2}|a|b(b-a)$

    Comme $A'B'=(b-a)/2$, on se ramène à montrer que la hauteur issue de C' du triangle $A'B'C'$ est $p|a|b$. Ca peut se faire avec de petits arguments de triangles semblables, mais là j'ai largement épuisé mon quota de 3 lignes.
  • christophe c
    christophe c
    post effacé pour ne pas faire perdre de temps aucx gens à le lire (à la demande que quelques lecteurs), je mets "mon seul post sérieux (et vérifié)" du fil en lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,695730,696363#msg-696363
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