triangle orthique et droite d'Euler

Bonne nuit,

Toujours avec le truc de Morley:
$T_A$ a pour équation $\displaystyle \overline{a}z+a\overline{z}=2$ et pc.
$\displaystyle a_1=\frac{2bc}{b+c}$ et pc. $\displaystyle a_2=\frac{a(b+c) - bc + a^2}{2a}$ et pc.
$(A_1A_2)$ a pour équation $\displaystyle pz+q\overline{z}+r=0$ avec $p=a^2b + a^2c - ab^2 + 2s3 - ac^2 - b^2c - bc^2$, $q=bc(a^2b + a^2c + ab^2 - 2s3 + ac^2 - b^2c - bc^2)$
et $r=-4bc(a^2 - bc)$ et pc.
Un petit déterminant d'ordre 3 nul montre que $(A_1A_2)$, $(B_1B_2)$, $(C_1C_2)$ sont concourantes.
Un petit calcul de plus montre que le point d'intersection de ces trois droites est $M(m)$ avec $\displaystyle m=\frac{4s_1s_3}{s_1s_2+3s_3}$.
Enfin, un dernier calcul montre que $\displaystyle m\overline{s_1}-\overline{m}s_1=0$ donc que ce point est sur la droite d'Euler du triangle $ABC$.

Cordialement,

Rescassol

PS: "pc" signifie "et permutation circulaire".

Bonjour,

Le point $M$ est $X(25)$ dans l'ETC. C'est le centre d'homothétie du triangle orthique et du triangle tangentiel, et sa polaire par rapport au cercle circonscrit de $ABC$ est son axe orthique.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Ta mémoire est bonne, Kolotoko, et le rapport d'homothétie entre $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ est $\displaystyle \frac{1-|s_1|^2}{4}$.

Cordialement,

Rescassol