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Les Sangaku !

Envoyé par nioldi 
Les Sangaku !
il y a huit années
Bonjours à tous :)

J'ai ce problème (appelé sangaku) à résoudre, je sais qu'il y à utilisation de trinômes du second degré (delta..), je vous laisse admirer :



Enoncé :

Dans un cercle Q de centre O et de rayon R = 50 est inscrit un triangle équilatéral ABC.
On appelle D le milieu du segment [AB], et on construit le triangle équilatéral DEF dont les sommets sont sur le cercle Q.
Le point H est le milieu du segment [EF].

Déterminer le côté a du triangle DEF.


Début de raisonnement :

Il semble que le centre de gravité (point d'intersection des médianes) joue un intérêt dans les triangles équilatéraux, car il se situe à 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.

Merci d'avance !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par nioldi.
kolotoko
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonjour,

Je travaille dans un cercle de rayon 1.
J'évalue EH = a/2 et HO d'où la valeur de tangente EOH.
J'évalue HC d'où la valeur de tangente ECH .
Ensuite j'écris la formule tan(2x) = 2tan(x)/(1 -tan(x)^2) et je remplace car EOH = 2ECH.
Cela conduit à l'équation 4a2+2a-1 = 0 dont la solution positive est (Rac5 - 1) /2 = 0,309016994.
Il faut multiplier par 50 pour un cercle de rayon 50.
Bien cordialement
kolotoko

[Corrigé selon ton indication. AD)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
avatar
@kolotoko : (rac(5)-1)/2 vaut le double de ce que tu as écrit (environ 0.618033989).
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
avatar
Bonjour,

C'est cet exercice, illustré par Bouzar.

La droite (DF) rencontre (AC) en K milieu de AC, et recoupe le cercle en H. On calcule la puissance de D.

On a DA.DB= a.(a+DA) d'où . . .



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par Cidrolin.
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonjour,

Je ne trouve pas comme kolotoko.
Le théorème de Pythagore dans le triangle OHF donne :
$\Big(\dfrac R2+a\dfrac{\sqrt3}2\Big)^2+\Big(\dfrac a2\Big)^2=R^2$ \ d'où $\ 4a^2+2aR\sqrt3-3R^2=0$.
$a=R\,\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt3}4$.
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonsoir,

il fallait observer que OD vaut la moitié du rayon.

Ce qui permet de partager une tarte en 3 parts égales.

Bien entendu, la question subsidiaire : quel est le titre du film ?

Aldo
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
avatar
Essaye-moi de Pierre-François Martin-Laval

avec Julie Depardieu et Pef
kolotoko
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonsoir ,
oui , finalement je trouve aussi cette valeur de jandri par la méthode que j'avais proposé
bien cordialement
kolotoko .
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Exact, Cidrolin, un film très sympa d'ailleurs.
Buldozer
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Jandri, je comprends ta methode mais je ne vois pas comment tu trouves que OH= R/2 + (a (racine de 3) /2). D'ou proviens cette racine de 3?
Merci pour ton aide.
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Avec un triangle équilatéral la racine de 3 n'est pas loin :

OH = OD + DH

et

DH² = a² - (a/2)² = 3a²/4
kioray
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Svp mettez tout le detail je suis perdu !!!
Buldozer
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Merci, mais pourquoi est-ce que DH² = a² - (a/2)² = 3a²/4? eye popping smiley
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
On applique Pythagore dans le triangle DHF (H étant le milieu de EF).
Buldozer
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Evidemment! J'ai eu un gros bug la! Merci bcp

[C'est tellement plus conforme à la charte sur l'utilisation du "langage" SMS. Bruno]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par Bruno.
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
kioray t'as réussi ou pas ? Si ça peut t'aider je t'envoie l'exercice fait en entier ;)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
nanar
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonjour, pourrais-tu m'envoyer l'exercice fait en entier s'il te plait ? Merci
Franklin
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonjour
J'aimerais également avoir l'exercice en entier, serait-ce possible ? Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
Frankiln
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
pour l'adresse
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Bonjour,

Je trouve aussi comme Jandri par la méthode suivante:
Soient les points définis par leurs affixes (le cercle est supposé unité):
$\displaystyle D\left(\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle E\left(\frac{1}{z}\right)$ et $F(z)$ car $\displaystyle \overline{z} = \frac{1}{z}$.
On passe de $E$ à $F$ par une rotation de centre $D$ et d'angle $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, donc on a l'équation $\displaystyle z-\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\right)$.
Ce qui donne: $\displaystyle 4z^2-(1-i\sqrt{3})z-2(1+i\sqrt{3}) = 0$.
Les solutions sont $\displaystyle \frac{(1 \pm 3\sqrt{5})+i\sqrt{3}(\sqrt{5} \pm 1)}{8}$
et $\displaystyle EF = \frac{z_1-z_2}{i}= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} \pm 1)}{4}$, correspondant aux deux triangles équilatéraux possibles.

Cordialement,

Rescassol
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Je trouve pareil :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par Buldozer.
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
Juste n'oubliez pas que R=50



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par Buldozer.
Flix26
Re: Les Sangaku !
il y a huit années
c quoi le resultat ?
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