Colinéarité 3

Bouzar
Bouzar
dans Géométrie
Bonsoir

Voici un nouvel exercice :

Soit $ABC$ un triangle, $A'B'C'$ le triangle podaire d'un point $P.$
On suppose que :
la droite $(AA')$ coupe la droite $(PB')$ en un point $M$,
la droite $(AA')$ coupe la droite $(PC')$ en un point $N$,
la droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(B'C')$ coupe la droite $(AB)$ en un point $K$,
la droite passant par $N$ et parallèle à la droite $(B'C')$ coupe la droite $(AC)$ en un point $L.$
Montrer que les points $K, P$ et $L$ sont colinéaires.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    D'une part, je ne vois pas pourquoi $P$ devrait être à l'intérieur de $ABC$, mais surtout, Géogébra n'est pas d'accord avec toi:
    21864
  • jeroM
    jeroM
    bonjour,
    chez moi l'angle montré par Rescassol est bien de 180°, même en modifiant la figure.
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour

    Eh bien chez moi aussi !!
    [Redimensionnement de l'image. AD]21870
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Voilà la figure où j'ai placé les angles droits et tracé les droites $(PK)$ et $(PL)$ en vert. On voit bien qu'elles sont distinctes et que $\widehat{LPK}\neq180°$..
    Donc, soit je me suis trompé dans ma construction, mais où ? Soit il y a un bug dans Géogébra, ce qui serait plus étonnant.
    21865
  • Ga,
    Ga,
    Rescassol, tes droites (MK) et (NL) ne sont visiblement pas parallèles à (B'C'). Et c'est nettement mieux quand ça bouge ! (A, B, C et P peuvent être bougés à la souris).
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    Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Click here to install Java now</a>)
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  • jeroM
    jeroM
    oui, en reconstruisant on voit que les points M et N ne sont pas définis à partir de la droite (B'C') mais à partir de (BC).
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Oui, j'ai pris des parallèles à $(BC)$ au lieu de $(B'C')$, mais j'ai un doute:
    Bouzar, n'avais tu pas écrit $(BC)$ avant de corriger ?
    Si ce n'est pas le cas, excuse moi d'avoir douté de toi.
    Quoiqu'il en soit, le problème est maintenant résolu grâce à l'éternel truc de Morley.
    Comme je n'ai malheureusement pas le temps de latexiser aujourd'hui,
    je vous prie de m'en excuser, je joins dans un fichier zippé le fichier Matlab
    ainsi que son résultat d'exécution en txt.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour Rescassol

    Ben non il s'agissait bien de $(B'C').$ Merci de ta contribution. Ma correction était de supprimer le fait que $P$ est intérieur au triangle.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    J'ai enfin le temps de latexiser mon fichier Matlab:
    Les projetés orthogonaux de $P(p)$ sur les cotés de $ABC$ sont donnés par
    $a'=\dfrac{b+c+p-bc\overline{p}}{2}$ et permutation circulaire.
    $(AA')$ a pour équation $p_Az+q_A\overline{z}+r_A=0$ avec:
    $p_A=s_2 - 3bc - ap + s_3\overline{p}$,
    $q_A=s_3(3a-s_1-p+bc\overline{p})$
    $r_A=-(\overline{p}a^2bc+a^2b+a^2c-pa^2+\overline{p}b^2c^2-b^2c-bc^2-pbc)$
    $(PB')$ a équation $-z+ca\overline{z}+p-ca\overline{p}=0$ et de même pour $(PC')$.
    $(B'C')$ a pour équation $-2(a-p)z+2s_3(a\overline{p}-1)\overline{z}+s_2-(b+c)p+a^2-p^2-a^2(b+c)\overline{p}+a(b+c)p\overline{p}-a^2bc\overline{p}^2=0$.
    On obtient $M(m)$ avec $m=\dfrac{(s_3(a-b-c)-b^2c^2)\overline{p}+(bc-a^2)(b+c)+(a^2+2bc-2ab+b^2)p+ab^2c^2\overline{p}^2-(s_3+b^2c)p\overline{p}+bp^2}{3bc-ac-3ab+b^2+(a+b)p-(b^2c+s_3)\overline{p}}$
    Et de même pour $N$.
    Puis on obtient $K(k)$ avec:
    $k=\dfrac{a^2b^2c\overline{p}^2+b^2(a^2-3ca)\overline{p}-b(a^2+bc)p\overline{p}-a^2b-ab^2+2cb^2-ca^2+s_3+(a^2+bc-ab+b^2)p+bp^2 }{3bc-ac-3ab+b^2+(a+b)p-(b^2c+s_3)\overline{p}}$
    Et de même pour $L$..
    Enfin $\dfrac{l-k}{p-k}=\dfrac{(b-c)((2bc-2ac-2ab+2a^2)+(-2a+b+c)p+p^2-(a^2-bc)p\overline{p}+(a^2(b+c)-2s_3)\overline{p}+as_3\overline{p}^2 )}{(p-b-a+ab\overline{p})(a*b+3ac-3bc-c^2-(a+c)p+bc^2\overline{p}+s_3\overline{p})}$ qui est réel car égal à son conjugué..

    Cordialement,

    Rescassol
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